Integral: x*Wurzel(x+3) dx Kann mir jemand bitte einen Tipp geben wie ich diese Aufgabe lösen kann. Mi einer part. Int komme ich zu keinem Ergebnis :/?

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3 Antworten

Ich weiß ja nicht, was Du mit "keinem Ergebnis" meinst. Kommt nicht das raus, was div. Integralrechner vorrechnen? Vielleicht musst Du nur noch "geschickt" ausklammern und zusammenfassen, damit DAS Ergebnis rauskommt...

allg. gilt ja bei der partiellen Integration: Int(f'(x) * g(x))=...
Setze f'(x)=Wurzel(x+3) => f(x)=2/3 * (x+3)^(3/2)
und g(x)=x => g'(x)=1

jetzt integrieren:

Int(...)=2/3 * (x+3)^(3/2) * x - 2/3 * Int((x+3)^(3/2) * 1)
=2/3x * (x+3)^(3/2) - 2/3 * 2/5 * (x+3)^(5/2)   |2/3 * (x+3)^(3/2) ausklammern
=2/3 (x+3)^(3/2) * (x-2/5(x+3))
=2/3 (x+3)^(3/2) * (3/5x-6/5)          |3/5 ausklammern
=2/3 * 3/5 * (x+3)^(3/2) * (x-2)
=2/5 * (x+3)^(3/2) * (x-2)

Gibt wahrscheinlich einen eleganteren Weg (den man erst einmal sehen muss). Hier hab ichs einfach runtergerechnet...

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Ich kann dir gerne versuchen zu helfen, aber ich finde das recht unproduktiv, wenn ich dir einfach die Lösung da hinschreibe, das hilft ja nicht weiter.

Weißt du denn, wie eine partielle Integration prinzipiell funktioniert?

Was wählst du denn für die beiden Teile f(x) und g(x) und was kommt dann bei deiner Rechnung raus?

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Substitution

u=x+3

x=u-3

x ' = 1

int(u^1/2 - 3u^-1/2)du

= 2/3 • x • wurzel(x+3) - 4 • wurzel(x+3)

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ralphdieter 01.07.2016, 18:22

Fast! int (u-3)√u du = int u^(3/2)-3u^(1/2) du = …

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Ellejolka 01.07.2016, 18:35
@Ellejolka

dann ändert sich ja die Lösung enorm; neue Lösung:

2/5 x (x+3)^3/2   -  4/5 (x+3)^3/2

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ralphdieter 01.07.2016, 21:56
@Ellejolka

Test:

d/dx 2/5·(x-2)·(x+3)^(3/2)
= 2/5·[ (x+3)^3/2 + 3/2·(x-2)^(1/2) ]
= 2/5·[ (5/2·x)·√(x+3) ]

:-)

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