Injektivität und Surjektivität bei Identiät und Hintereinanderausführung?

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Es gilt g(f(x)) = x für alle x nach Voraussetzung. Sei f(x) = f(y). Dann ist g(f(x)) = g(f(y)), allerdings gilt g(f(x)) = x und g(f(y)) = y, d.h. es folgt x = y. Also ist f injektiv. Wenn umgekehrt ein x aus X gegeben ist, setzen wir y = f(x) und erhalten g(y) = g(f(x)) = x. Also ist g surjektiv.

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Vielen dank für die anschauliche Lösung, Luksior

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@XamaX563

Hehe, jepp.. sehen uns dann morgen zu 'Analysis und Lineare Algebra' ;)

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Zugegeben, ich habe nicht wirklich Ahnung (War vor Jahren ein Kapitel, in dem ich nicht so begabt war), aber hier würde ich am Ehesten für beide Aussagen mit einem Widerspruchsbeweis herangehen...

Injektivität: Jedem Element der Bildmenge ist höchstens ein Element der Definitionsmenge zugewiesen.

Funktion: Jedem Element der Definitionsmenge ist genau ein Element der Bildmenge zugewiesen

Angenommen f(x) sei nicht injektiv, heißt: f(x) = f(x') für x != x' (ungleich)

Sei g(f(x)) = x (da identität), dann gilt g(f(x')) = x... Das ist ein Widerspruch

Ähnlich bei der Surjektivität...

Angenommen es gibt kein y, für dass gilt: g(y) = x ... dann kann es kein x geben, für das gilt: g(f(x)) = x... Damit keine Identität.

Hmmm... beim letzten Beispiel bin ich mir nicht sicher, ob es nicht zu einfach ist... ;)

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Danke, kmkcel. das hilft mir echt weiter.

Naja, ist unsere erste Aufgabe zu dem Thema ;)

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Folgendes Problem,

ich hab eine Abbildung von R^3 --> R^3 u |----> a x u

und soll diese auf Injektivität und Surjektivität überprüfen.

Injektivität

f(u1)=f(u2)

wenn gilt:

a x u1 = a x u2

=> Ist injektiv

hatte dann am ende ausdrücke wie a2(u13-u23)=a3(u12-u22)

folgt daraus nicht das die Abbildung Injektiv ist? ^^

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 Auf.1

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Auf.2

Seien A und B nicht leere Mengen und f: A -> B eine Abbildung.Zeigen sie, dass:

f surjektiv ist, wenn für alle X,Y (Teilmengen von A) gilt:

X u Y = A => f(X) u f(Y) = B

Vor allem bei Auf. 2 verstehe ich zwar grob die Zusammenhänge und warum das gelten muss, weiß aber einfach nicht, wie ich das "mathematisch aufschreiben/lösen" soll.

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