Induktionsprinzip?

3 Antworten

Hallo,

ich hab's:

Wenn Du beweisen kannst, daß a(n+1) aus k*a(n) hervorgeht, hast Du gewonnen.

a(1), der Induktionsanfang, ergibt:

a^(1+1)+(a+1)^(2*1-1)=a²+(a+1)^1=a²+a+1

Das ist identisch mit dem Teiler und somit auf jeden Fall durch diesen teilbar.

Setzt Du für n eine 2 ein, kommst Du auf a³+(a+1)³=a³+a³+3a²+3a+1=
2a³+3a³+3a+1

Teilst Du dieses per Polynomdivision durch a²+a+1, kommst Du auf (2a+1).

Genau dies ist der Faktor, der von a(n) zu a(n+1) führt.

Zu zeigen ist nur noch, daß [a^(n+1)+(a+1)^(2n-1)]*(2a+1) tatsächlich zu
a^(n+2)+(a+1)^(2n+1), dem jeweils nächsthöheren Glied führt.

Das ergibt 2a*a^(n+1)+2a*(a+1)^(2n-1)+a^(n+1)+(a+1)^(2n-1)

Das ist gleich:

2a*a^(n+1)+a^(n+1)+2a*(a+1)^(2n-1)+(a+1)^(2n-1)

Ausklammern ergibt:

(a^(n+1))*(2a+1)+((a+1)^(2n-1))*(2a+1)

Ausklammern von 2a+1:

(2a+1)*(a^(n+1)+(a+1)^(2n-1))

Das nächsthöhere Glied in der Folge unterscheidet sich also tatsächlich nur durch den Faktor (2a+1) von seinem Vorgänger.

Da der Induktionsanfang bereits bewiesen war und nun bewiesen ist, daß es einen Faktor k gibt, der a(n) von a(n+1) unterscheidet, ist beweisen, daß, wenn a(n) durch a²+a+1 teilbar ist, daß dann auch a(n+1)=k*a(n) durch a²+a+1 teilbar ist.

Herzliche Grüße,

Willy

Wenn Du eine (vollständige) Induktion ausführen willst, brauchst Du erstmal eine Verankerung, danach den Induktionsschritt.

Die Idee ist: Die Verankerung zeigt für einen festgelegten Wert von n (z.B. 0 oder 1), daß die Teilbarkeit gegeben ist.

Danach folgt der Induktionsschritt, in dem Du zeigst, daß unter der Annahme, daß die Teilbarkeit für n bereits bewiesen wurde, diese für n+1 gezeigt werden kann.

Dadurch kannst Du Dich dann von der Verankerung aus schrittweise zu jedem Wert für n fortbewegen, weil Du eben allgemein gezeigt hast, das der Übergang von n nach n+1 funktioniert.

Mir ist nur nicht ganz klar welche gleichung ich am anfang aufstelle zum überprüfen. Normal steht ja k oder sowas links oder steh ich da einfach total auf der Leitung?

Wenn Du für n eine 1 einsetzt, kommst Du auf a²+a+1, also genau auf den Teiler.

Damit steht der Induktionsanfang, denn a²+a+1 ist sicher durch a²+a+1 teilbar.

Nun gilt es, nachzuweisen, ob es vielleicht irgendeinen ganzzahligen Faktor gibt, der von a^(n+1)+(a+1)^(2n-1) zu dem nächsthöheren Glied in der Folge a^(n+2)+(a+1)^2n führt, denn dann wäre auf jeden Fall auch das nächste Glied in der Folge durch a²+a+1 teilbar. 

Wenn aber dieser Schritt bewiesen ist, ist auch bewiesen, daß jedes beliebige Nachfolgeglied teilbar ist, weil sie sich ja nur durch einen ganzzahligen Faktor unterscheiden.

Diesen habe ich aber bis jetzt noch nicht gefunden; stelle mir aber vor, daß die Lösung in dieser Richtung zu finden ist.

Willy

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@Willy1729

Für das nächsthöhere n lautet der Term:

a^(n+2)+(a+1)^(2n+1)

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Na, man sollte doch annehmen, daß bei einem Bruch, der zu 1 umgeformt werden kann, eine Teilbarkeit vorliegt.

Allgemeiner, der Zähler sollte ein ganzzahliges vielfaches des Teilers sein. Du kannst also als Verankerung, wie schon andere schrieben, für n=1 den Bruch aufschreiben, kürzen und siehst, daß eine Teilbarkeit vorliegt.

Danach würdest Du (normalerweise) versuchen für n=n+1 zu setzen und so umformen, daß Du den bekannten Term im Zähler erhälst, sowie einen zusätzlichen Teil, der dann wieder durch den Teiler teilbar sein sollte. (Gleiche Idee wie zuvor, denn dann Stünde bekannter Term multipliziert mit Ganzzahl und für den bekannten Term hast Du die Eigenschaft schon gezeigt.

Die Frage ist also nur, ob du die Umformung hinbekommst.

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