Induktion mit Binominalkoeffizienten?

 - (Mathematik, Physik)

4 Antworten

Hallo,

am besten machst Du es Dir mit einem Zahlenbeispiel deutlich.

Es sei n=4 und m=2.

Dann wird behauptet:

Wenn Du einen Binomialkoeffizienten k über m hast und mit k=m bis k=n hochzählst und die einzelnen Ergebnisse addierst, ist das das Gleiche, als würdest Du den Binomialkoeffizienten von (n+1 über m+1) bilden.

Du fängst mit k=m=2 an und hörst bei k=n=4 auf.

So bildest Du die Summe (2 über 2)+(3 über 2)+(4 über 2)=1+3+6=10.

Dann müßte auch (4+1 über 2+1), also (5 über 3) die Zahl 10 ergeben.

Das tut es:

(5 über 3)=5!/[(3!*(5-3)!]=(1*2*3*4*5)/(1*2*3*1*2)=120/12=10

(Bei Fakultäten kannst Du übrigens ohne Ende kürzen).

Da Du das schlecht für sämtliche n und m durchexerzieren kannst, um zu beweisen, daß die Summenformel tatsächlich funktioniert (die Menge N hat unendlich viele Elemente), beweist Du es über die vollständige Induktion.

Du fängst bei der kleinsten möglichen Zahl für n an, das ist hier die 0, denn wir haben es mit der Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null zu tun.

Da bei einer Summe die obere Grenze niemals kleiner als die untere werden darf, sondern größer oder gleich sein muß, kannst Du für m natürlich auch nur eine Null setzen, denn kleiner als Null geht nicht und m darf auf keinen Fall größer als n werden. Da bleibt für m nur die Null übrig.

Du fängst also bei k=m=0 an und summierst den Binomialkoeffizienten k über m von 0 bis 0 hoch. Da gibt es nicht viel zu summieren, denn bei 0 über 0=1 bist Du bereits fertig. Du hast bei k=m=0 angefangen und bei k=n=0 aufgehört.

Das soll nach Induktionsvoraussetzung das Gleiche sein wie n+1 über m+1, also wie 0+1 über 0+1=1 über 1=1.

Stimmt.

Der Induktionsanfang ist bewiesen.

Jetzt kommt der eigentliche Beweis:

Wenn die Summenformel stimmt, dann muß die bisherige Summe, die von k=m bis zu einem beliebigen n geht, vermehrt um das nächste Glied in der Folge das Gleiche ergeben, also würdest Du das nächsthöhere n, also n+1, direkt in die Summenformel eingeben.

Da die Formel für das erste Glied bereits bewiesen ist, hast Du die ganze Formel bewiesen, wenn Du zeigst, daß auch der Schritt von einem beliebigen Folgenglied zum nächsten funktioniert, denn dann funktioniert auch der Schritt von n=0 bis n=1, von n=1 bis n=2 usw. bis in alle Ewigkeit.

Du gehst nun davon aus, daß die Formel stimmt.

Dann ist die Summe von k=m bis n über k über m das Gleiche wie der Binomialkoeffizient n+1 über m+1 und kann durch diesen ersetzt werden.

Wenn Du zu diesem Binomialkoeffizienten, der laut Induktionsvoraussetzung ja das Gleiche ergibt wie der Ausdruck hinter dem Summenzeichen, das nächste Folgeglied addierst, muß sich am Ende der Binomialkoeffizient (n+2 über m+1 ergeben), denn anstelle von n setzt Du nun n+1 ein.

Wie siehst das nächste Folgenglied aus, das auf k über m folgt?

Das letzte in der bisherigen Folge ist n über m, denn k hast Du ja hochgezählt, bis n erreicht wurde.

Dann ist das nächste Glied (n+1 über m).

Es muß also gelten:

Die bisherige Summe, die durch den Ausdruck (n+1 über m+1) berechnet werden kann, vermehrt um (n+1 über m) ergibt das Gleiche wie (n+2 über m+1).

Um das nachzuweisen, schreibst Du die Binomialkoeffizienten, die bisher in der Kurzschreibweise notiert waren, aus.

(n+1 über m+1)=(n+1)!/[(m+1)!*(n+1-(m+1))!]=(n+1)!/[(m+1)!*(n-m)!]

(n+1 über m)=(n+1)!/[m!*(n-m+1)!]

und (n+2 über m+1)=(n+2)!/[(m+1)!*(n-m+1)!]

Du schreibst die Gleichung in dieser Form aus, wandelst

(n+2)! in (n+1)!*(n+2) und (n-m+1)! in (n-m)!*(n-m+1) und (m+1)! in m!*(m+1) um,

kürzt die gemeinsamen Faktoren aller Terme heraus, bringst alles auf den Hauptnenner (am besten nach der Kürzerei) und vergleichst am Ende nur noch die Zähler auf beiden Seiten der Gleichung, wo sich schließlich, wenn Du alles richtig gemacht hast, die sicher wahre Aussage n+2=n+2 ergibt und damit der Beweis erbracht ist, daß die Summenformel hinhaut.

Mach Dich unbedingt mit dem Umgang mit Summenformeln und Fakultäten vertraut.

0! ist übrigens gleich 1.

Herzliche Grüße,

Willy

Dieser Beweis ist übrigens fast identisch mit dem Beweis für das Pascalsche Dreieck, also daß die Zahlen in den Zeilen dort tatsächlich die Binomialkoeffizienten ergeben.

0

Alsooo ... wie lese ich Summenzeichen?

k ist der Zähler, der vom Start- bis zum Zielwert läuft.

m ist der Startwert.

n ist der Zielwert.

Wenn nicht anders angeben sind n, m, k Elemente der Natürlichen Zahlen mit der Null. Der kleinste, mögliche Wert ist also Null. (Ach, ist ja angegeben ...)

Und nun zur Induktion:

Zur Vereinfachung der Induktion wird m auf den kleinsten Wert gesetzt, m=0

Und dann startet die Induktion ...

Zur Vereinfachung der Induktion wird m auf den kleinsten Wert gesetzt, m=0

Nein, zum Induktionsanfang wird n auf Null gesetzt, da die Aussage A(n) für alle n ∈ N gezeigt werden soll. Aus den anderen Bedingungen zu n und m ergibt sich dann, dass m auch null sein muss, wenn n null ist.

2

Hello again :D

Wenn m = 0 ist, dann ist m trivialer Weise gleich null. Ich glaube aber, dass Du n meintest ;)

Weißt Du, wie die Summenformel funktioniert? Der Index läuft bis n, ist eine natürliche Zahl (mit null) und m ≤ n.

Das alles steht in den Bedingungen der Aufgabenstellung. Wenn n = 0 ist, welche natürliche Zahl (mit 0) ist kleiner gleich 0?

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