Induktion einer Summe von Fakultäten.

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2 Antworten

Ganz einfach:

(n+1)! - 1 + (n+1) * (n+1)! =

[umordnen]

= (n+1)! + (n+1) * (n+1)! - 1 =

[(n+1)! ausklammern]

= (n+1)! * [1 + (n+1)] - 1 =

= (n+1)! * (n+2) - 1 =

= (n+2)! - 1

user2192 20.10.2012, 18:48

Danke, kann nicht glauben, dass ich darauf nicht gekommen bin... ich hab hier sogar genau

= (n+1)! * [1 + (n+1)] - 1 =

auf meinem Zettel stehen und bin zu dumm 1+1 zusammenzuzählen :D wieso einfach wenns auch kompliziert geht

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Induktionsvoraussetzung:

Für ein festes n gelte:

Sigma ( k = 1 bis n ) k * k ! = ( n + 1 ) ! - 1

Zu zeigen: Dann gilt für n + 1:

Sigma ( k = 1 bis n + 1) k * k ! = ( ( n + 1 ) +1) ! - 1 = ( n + 2 ) ! - 1

Induktionsschritt:

Sigma ( k = 1 bis n + 1) k * k !

[Die Summe wird nur bis k = n und der letzte Summand ( k = n + 1 ) wird gesondert hingeschrieben:]

= Sigma ( k = 1 bis n ) k * k ! + ( n + 1 ) * ( n + 1 ) !

[Nun fließt die Induktionsvoraussetzung ein:]

= ( n + 1 ) ! - 1 + ( n + 1 ) * ( n + 1 ) !

[ ( n + 1 ) ausklammern:]

= ( n + 1 ) ! * ( ( n + 1 ) + 1 ) - 1

= ( n +1 ) ! * ( n + 2 ) - 1

= ( n + 2 ) ! - 1

q. e. d.

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