In der Gleichung hoch 2, hoch 3 und eine normale Zahl, wie löst man das?

6 Antworten

Gesucht sind die Nullstellen von -2x³+6x²-4 bzw. -2*(x³-3x²+2).

Suche zunächst nach einer rationalen Nullstelle:

Nach Satz über rationale Nullstellen, können nur Teiler von 2, also -2, -1, 1, 2 für rationale Nullstellen in Frage kommen. Durch Einsetzen, kann man dann erkennen, dass 1 eine Nullstelle ist: -2 * 1³ + 6 * 1² - 4 = -2 + 6 - 4 = 0

Daher kann man (x - 1) ausklammern. Polynomdivision liefert:

 (x³-3x²   +2):(x-1)=x²-2x-2
-(x³- x²     )
--------------
    -2x²   +2
  -(-2x²+2x  )
  ------------
        -2x+2
      -(-2x+2)
      --------
            0

----

Bemerkung:

Man hat also nun ...
-2x³ + 6x² - 4 = -2 * (x³ - 3x² + 2) = -2 * (x - 1) * (x² - 2x - 2)

Das Produkt -2 * (x - 1) * (x² - 2x - 2) ist nun genau dann gleich 0, wenn x - 1 = 0 ist oder x² - 2x - 2 = 0 ist.

x - 1 = 0 liefert die bereits zuvor gefundene Nullstelle, weshalb wir den Linearfaktor überhaupt auch ausgeklammert haben.

Die Nullstellen von x² - 2x - 2 müssen noch berechnet werden.

[Ende der Bemerkung]

----

Die Nullstellen von x² - 2x - 2 kann man mit quadratischer Lösungsformel ermitteln:

x = (2 ± √(4 - 4 * 1 * (-2)))/(2 * 1)
x = (2 ± √(12))/2
x = (2 ± 2√(3))/2
x = 1 ± √(3)

Damit hat man insgesamt die folgenden Nullstellen, bzw. Lösungen der Gleichung:

x = 1 oder x = 1 + √(3) oder x = 1 - √(3)

Wie bereits die anderen erwähnt haben, wendet man Polynomdivision an.

Bei der Polynomdivision wird das Polynom durch eine Division in ein Restpolynom zerlegt.

Kleines Beispiel:
Polynomdivision ist die "Rückrechnung" von der Multiplikation zweier Polynome.

(x²+2x+4)*(x-2) = x³+x²-8 

Also ist:

(x³+x²-8) / (x-2) = x²+2x+4

Wenn man allerdings nur das Polynom hat, dann fehlt ja etwas durch das wir dividieren.
Wir müssen also erstmal eine Nullstelle des Polynoms erraten und dann diese Nullstelle als Linearfaktor darstellen:

-2x³+6x²-4 = 0

Für welche x wird diese Gleichung erfüllt?
(Anmerkung: Natürlich kann man auch alle Nullstellen raten, aber das ist Witzlos, deshalb erraten wir die erste und errechnen uns die letzten beiden indem wir erst zerlegen)

Für x1=1 ist die Gleichung offensichtlich erfüllt:

-2*1³+6*1²-4 = 0
      -2+6-4 = 0
           0 = 0

Die Nullstelle lässt sich als Linearfaktor darstellen, wie folgt: (x-1)

Nun dividieren wir durch (x-1):
(Fragestellung: Was mal x ergibt -2x³; dann aufschreiben und abziehen, Was mal x ergibt dann das nächste, etc.; Schriftliches dividieren eben)

 (-2x³ + 6x² + 0x - 4) / (x-1) = -2x² + 4x + 4
-(-2x³ + 2x²)
         4x² + 0x
       -(4x² - 4x)
               4x - 4
             -(4x - 4)
                0 + 0

Es ging ohne Rest auf und wir haben nun folgendes:

(-2x²+4x+4)(x-1) = -2x³+6x²-4

Da wir 

(-2x²+4x+4)(x-1) = 0

Wissen wollen, jetzt einfach abc-Formel anwenden:


x2/3 = (-b +/- sqrt(b²-4ac)) / (2a)
x2/3 = (-4 +/- sqrt(4²-4*(-2)*4)) / (2*(-2))
x2/3 = (-4 +/- sqrt(48)) / (-4)
  x2 = 1-(1/4)*sqrt(48)
  x3 = 1+(1/4)*sqrt(48)

Das wären die Lösungen für dein Polynom.

Hast du etwas nicht verstanden oder sonstige Fragen?

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Es gibt Lösungsformeln für kubische (3. Grades) und auch für biquadratische (4. Grades) Formeln, diese sind halt nicht so leicht wie die abc-/pq-Formel.

Ab dem 5. Grad gibt es allerdings keine Formel mehr und es kann auch keine geben, die diese Gleichung mit Wurzelausdrücken lösen kann (siehe abc-/pq-Formel, dort kommt Wurzel vor, etc.).

Den Weg übe die Polynomdivision ist recht einfach und nachvollziehbar

1

Gut erkannt. 

Alle üblichen Lösungswege wie das Ausklammern (Faktorisieren), die pq-/abc-/Mitternachtsformen sowie die Substitution fallen raus. An dieser Stelle musst du nun die Polynomdivision anwenden. 

In Nordrhein-Westfalen wurden allerdings ein Jahrgang vor mir neue Lehrpläne für das Fach Mathematik eingeführt, die den GTR eingeführt haben. Dabei ist die Polynomdivision allerdings mit aus dem Lehrplan geflogen. Demnach kann ich dir trotz Mathematik Leistungskurs und Abiturjahrgang nicht genauer helfen. 

Wie sie funktioniert, kannst du aber hier nachschauen:

https://youtube.com/watch?v=WaRxx94rIgk

Liebe Grüße

TechnikSpezi

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