In dem Dreieck KLM ∠L=42∘, ∠M=44∘. LP = R, wo R Radius von Umkreis von KLM ist.Wie viel ist die Ecke PKM?

...komplette Frage anzeigen Skizze - (Mathematik, Aufgabe, Rechnen)

1 Antwort

Ich zeichne den Umkreis und beziehe mich auf das Diagramme Abb. 1 (siehe Anhang).

Wegen des Sehne-Satzes gilt:

∠C = 2(∠L+∠M) = 172˚.

Da 172˚<180˚ wissen wird, dass die Skizze korrekt ist (d. h. der Mittepunkt des Kreises liegt nicht innerhalb des Dreiecks, sondern unterhalb dessen). Im gleichschenklig Dreieck ∆KCM berechnet man für die Länge h:=R+s

h = 2·R·sin(∠C/2) = 2·R·sin(∠L+∠M) ≈ 1,9951·R
s = h–R ≈ 0,9951·R

Jetzt berechnet man innerhalb des Dreiecks ∆LKM:

     ∠K = π – (∠L+∠M)
und
h / sin(∠K) = ℓ / sin(∠L)
also h / sin(π – (∠L+∠M)) = ℓ / sin(∠L)
also h / sin(∠L+∠M) = ℓ / sin(∠L)
also 2R = ℓ / sin(∠L)
also ℓ = 2R·sin(∠L) ≈ 1,3383·R

Jetzt berechnet man innerhalb des Dreiecks ∆PKM:

     j = √(ℓ²+s² – 2ℓs·cos(∠M)) ≈ 0,9302·R
und
s / sin(θ) = j / sin(∠M)
also sin(θ) = (s/j)·sin(∠M)

Also gilt

∠PKM = θ = asin¯¹((s/j)·sin(∠M))
≈ 48,0000000000000˚

Ich glaube, dieses Ergebnis ist nicht exakt 48˚, sondern nur seeeeeehr nah dran.

Abb 1. - (Mathematik, Aufgabe, Rechnen) Abb 1. - (Mathematik, Aufgabe, Rechnen)
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Kommentar von MatheArtur
10.09.2016, 13:11

Vielen Dank. Eigentlich habe ich Halbweg geschafft, aber nach dem Sinusen könnte ich nicht weitergehen.Danke!

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