Impuls als Ableitung der Kinetischen Energie?
Schönen Abend!
Eben bin ich zum zweiten mal auf die Behauptung gestoßen, der Impuls sei die zeitliche Ableitung der kinetischen Energie:
http://www.epsilon-lyrae.de/Doppelsterne/Massenberechnung/Massenberechnung.html
(Etwas weiter unten auf dieser Seite)
Bin gerade etwas durcheinander; verstehe ich das nicht, verstehe ich das falsch oder soll das ein Witz sein? Wäre der Impuls die Ableitung der kinetischen Energie, dann läge in einer gleichförmigen Bewegung doch gar kein Impuls, oder? Vielen dank im Voraus!
5 Antworten
Die zeitliche Ableitung irgendeiner Energie nach der Zeit ergibt die LEISTUNG, nicht den Impuls.
Leiten wir mal die kinetische Energie nach der Zeit ab:
E(kin) = 0,5 * m * v² =
E´(kin) = 2 * 0,5 * m * v * a [v muss nach der Kettenregel abgeleitet werden]
wir erhalten also Unsinn! Leiten wir die kinetische Energie nach der Geschwindigkeit ab, DANN erhalten wir den Impuls als potentiellen Kraftstoß.
Und zur Übung leiten wir jetzt mal den Impuls nach der Zeit ab:
P = m * v | v wieder nach der Kettenregel ableiten
P´ = m * 1 * a = F
Wir erhalten also die Kraft.
Die Aussage in deinem Text enthält also einen Fehler, aber bedenke: E(kin) nach der Geschwindigkeit ableiten ergibt den Impuls. Wenn man die Geschwindigkeit nach der Zeit ableitet, muss man die Kettenregel anwenden, also v² -> 2 * v * v´ mit v´=a und den Impuls nach der Zeit abgeleitet ergibt die Kraft.
Jetzt verstanden?
ma^2 t kommt da raus und das ist die Leistung
Da sind wir uns ja einig.
Nix Kettenregel
Ich hatte dein Ergebnis oben mit Hilfe der Kettenregel bereits hergeleitet. Wie sieht denn deine Herleitung ohne Verwendung der Kettenregel aus?
Wotan hat ja schon richtig beantwortet, dass die Ableitung der kinetischen Energie nach der Zeit eben nicht der Impuls ist.
Noch eine weitere Bemerkung dazu:
Ich gehe aus von dem allgemein gültigen Ausschnitt aus der gibbschen Fundamentalform:
dE/dt = v * dp/dt = v * F
Allein schon hier siehst du, dass die Ableitung der Energie nach der Zeit nicht ein Impuls ist, sondern ein Produkt aus Geschwindigkeit und Kraft.
Richtig ist allerdings, dass die partielle Ableitung der Energie nach dem Impuls die Geschwindigkeit ergibt, also dE/dp = v (wie oben schon in der Formel zu sehen ist). Das ist der korrekte Zusammenhang zwischen E und p. Die Geschwindigkeit gibt also an, wieviel zusätzliche Energie man aufwenden muss, um den Impuls eines Körpers ein kleines bisschen zu erhöhen.
Die Bezeichnung des Impulses als zeitlicher Ableitung der kinetischen Energie ist natürlich Mumpitz, das ist die (Beschleunigungs-)Leistung. Kinetische Energie und Impuls sind Zustandsgrößen, während Leistung und Kraft Änderungsgrößen sind. Ganz andere Baustelle.
Das steht auf der angegebenen Seite jedoch auch nicht, wobei ich natürlich nicht weiß, ob dies womöglich inzwischen berichtigt wurde, schließlich ist die Frage fast 2 Jahre alt. Meine Empfehlung ist es, einen Screenshot zu fertigen, um ggf. beweisen zu können, dass die Behauptung dort so gestanden hat.
Heute jedenfalls liest man dort, der Impuls lasse sich als Ableitung der kinetischen Energie nach der Geschwindigkeit (genauer: deren Betrag v) auffassen, und zwar inspiriert durch die Beziehungen
(1.1) Eₖ = ½·m·v²; (1.2) p = m·v,
was stark an
(2) F(x) = ½·a·x² ⇒ f(x) = F′(x) = dF(x)/dx = a·x
erinnert.
Zufall ist das natürlich nicht, denn bei einer linearen Beschleunigung aus dem Stand sind p und Eₖ jeweils proportional zu Größen, die Ableitung und Stammfunktion voneinander sind. Und als Zustandsgrößen muss ihre Beziehung natürlich unabhängig von ihrem Zustandekommen sein.
Noch weniger zufällig erscheint einem diese Beziehung, wenn man weiß, dass E/c = (E₀ + Eₖ)/c und die Impulskomponenten den Viererimpuls
bilden. Die Foreml für dessen Lorentz-invarianten Betrag
(3) √{(E/c)² – p·p} = √{(E/c)² – p²} = mc
enthüllt nämlich, dass sich Energie und Impulsbetrag bis auf den konstanten Faktor m·c² bzw. m·c als Cosinus Hyberbolicus und Sinus Hyperbolicus derselben Größe ϖ (sprich: »varpi«), die Rapidität heißt, darstellen lassen. Es ist
(4) ϖ = artanh(β) = artanh(v/c) → v/c für v/c≪1, und
(5) d/dϖ{cosh(ϖ)} = sinh(ϖ)
und damit auch
(6) d/dϖ{cosh(ϖ)–1} = d/dϖ(Eₖ/mc²) = sinh(ϖ) = p/mc.
Es ist also fast schon zwingend, dass p im Newton-Limes als dEₖ/dv erscheint.
E = 1/2 * m * v^2 = 1/(2 * m) * p^2.
dE/dt = d/dt(1/(2 * m) * p^2) = 1/(2 * m) * 2 * p * dp/dt = p/m * dp/dt != p, bereits durch Dimensionsanalyse.
Der Impuls ist definiert als, in der Newton'schen Theorie, p = m * v.
VG, dongodongo.
p/m * dp/dt != p, bereits durch Dimensionsanalyse.
Du meinst vermutlich das richtige, schreibst es aber etwas unübersichtlich. Bereits durch Dimensionsanalyse findet man heraus, dass dE/dt etwas anderes sein muss als der Impuls. Das hast du doch gemeint, oder? Falls ja, würde ich zustimmen.
p/m * dp/dt = p/m * m * a = p * a = m * v * a =|= p
wobei stets vorausgesetzt worden war, dass m keine Funktion der Zeit
Ich verstehe deine Verwirrung nicht so ganz? Warum sollte in einer gleichförmigen Bewegung dann kein Impuls sein? Der Impuls als Bewegungsgröße hat die Formel p = m * v und ist von der Masse und der Geschwindigkeit eines Körpers abhängig. Der Impuls ist tatsächlich die partielle Ableitung der kinetischen Energie nach der Zeit.
Also eine unbeschleunigte Bewegung hätte eine konstante kinetische Energie. Die Ableitung der kinetischen Energie nach der Zeit wäre damit doch 0, oder? Wo liegt mein Denkfehler?
Die Kraft ist eine Erhaltungsgröße beim Zusammenstoß zweier Körper. Prinzip Actio = Reactio
dE/dt = F_1 + F_2
dE/dt = m_1 * a_1(t) + m_2 * a_2(t)
dE/dt = d(m_1 * v_1(t) + m_2 * v_2(t))/dt
Diese Ableitung ist gleich 0, wie du schon richtig geschrieben hast. Das heißt der Impuls bleibt konstant.
Daraus folgt dann auch die Definition des Impulses zu
p = m_1 * v_1(t)
Dein Einwand ist richtig. Die Aussage dass die Ableitung der kinetischen Energie nach der Zeit den Impuls ergäbe, ist falsch. Aber wenn ein Körper eine kinetische Energie hat (die man prinzipiell in Arbeit umwandeln könnte), dann hat er auch einen Impuls, den er bei einem Stoß übermitteln könnte. Richtig ist dagegen, dass die Ableitung der kinetischen Energie nach der Geschwindigkeit den Impuls ergibt.
Bitte?
dE/dt = 1/2 * 2 * m * a(t) * v(t)
wie du oben schön ausgeführt hast.
v(t) = konst, a(t) = 0. dE/dt = m * v = p
sei
dE/dt = m * a(t) * v(t) und a(t) = 0
=>
dE/dt = m * 0 * v = 0 =|= m * v
ma^2 t kommt da raus und das ist die Leistung. Nix Kettenregel.