Wie erkenne ich ob eine wurzel irrational oder rational ist?

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4 Antworten

Gute Frage. Sowohl Zähler als auch Nenner einer gekürzten, rationalen Zahl, deren Wurzel du ziehen möchtest müssen beide Quadratzahlen sein.

Ich hoffe, ich täusche mich nicht. Ob eine Zahl eine Quadratzahl ist, kannst du durch Faktorisierung herausfinden.

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Genau, wie [Itarito] eben andeutet, gilt

Satz. Sei n∈ℕ. Dann ist √n∈ℚ gdw. √n∈ℕ.

Beweis. (⟸-Richtung). offensichtlich, da ℕ⊆ℚ. (⟹-Richtung). Seien p, q∈ℤ mit q≠0 und ggT(p,q)=1 und p/q = √n, d. h. p² = nq². Falls q≠1, existiert r∈ℙ mit r|q; also r|nq² = p²; also r|p²; also r|p (Lemma über Primzahlen); daher r|p,q also r|ggT(p,q)=1; Widerspruch! Daher gilt q=1. Also √n=p/q=p/1=p. Da per Definition √n≥0, gilt p=√n≥0. Darum √n=p∈ℕ. QED.

Doch wie erkenne ich an einer Zahl n, ohne die Quadratzahlen aufzulisten, ob √n ganzzahlig ist? Es gilt:

Satz. n ist Quadratzahl ⟺ in der Primfaktorzerlegung,
n=∏p^e(p), Produkt über p∈ℙ
mit e(p)∈ℕ für alle p,
gilt e(p)≣0 mod 2

Mit anderen Worten √n rational gdw. n eine Quadratzahl gdw. jeder Primzahlfaktor in n einen geraden Exponenten hat.

Beweis. (⟸-Richtung). Offensichtlich: setze m:=∏p^(e(p)/2), welches eine wohldefinierte natürliche Zahl ist, da e(p) gerade ist für alle p∈ℙ. Es gilt m² = ∏p^e(p) = n. Darum gilt n = m².

(⟹-Richtung). Angenommen, n=m² für eine natürliche Zahl m∈ℕ. Stelle die Zahl m mittels der Primfaktorzerlegung dar: m=∏p^ƒ(p), wobei ƒ(p)≥0 für alle p∈ℙ, und ƒ(p)=0 für alle außer endlich vielen p∈ℙ. Dann gilt n=m²=∏p^(2ƒ(p)). Wegen Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gilt e(p)=2ƒ(p) für alle p. Insbesondere sind alle Exponenten gerade. QED.

BEISPIELE.

                         √n rational?
n Primfaktorzerlegung (⟺ alle Exp. gerade)
-------------------------------------
0 = 0² – ja
1 = 1² – ja
2 = 2¹ nein
3 = 3¹ nein
4 = 2² nein
5 = 5¹ nein
6 = 2¹3¹ nein
7 = 7¹ nein
8 = 2³ nein
9 = 3² ja
10 = 2¹5¹ nein
...
480200 = 2³5²7⁴ nein
...
271.050.390.625 = 5⁸7⁴17² ja

Falls deine Frage auf Wurzeln von Rationalzahlen abzielt, können wir dies auf das Problem der Rationalität von Wurzeln von ganzen Zahlen reduzieren:

Satz. Sei x∈ℚ mit x≥0. Dann gilt √x∈ℚ gdw. p, q Quadratzahlen sind, wobei p, q∈ℕ mit q≠0 und ggT(p, q)=1 und p/q=x=x.

Beweis. (Kommt im nächsten Beitrag.)

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Kommentar von kreisfoermig
29.10.2016, 15:59

fehlender Beweis(⟸-Richtung). Offensichtlich: dann gilt √p=P und √q=Q für ein P, Q∈ℕ. Setze y:=P/Q. Dann gilt y²=P²/Q²=p/q=x und y≥0, darum gilt √x = P/Q ∈ ℚ.

(⟹-Richtung). Angenommen, √x = P/Q für ein P, Q ∈ ℕ mit Q≠0 und ggT(P,Q)=1. Zu zeigen: p, q seien Quadratzahlen. Es reicht aus zuzeigen, dass p=P² und q=Q².

Nun gilt p/q = x = (√x)² = (P/Q)² = P²/Q².

Da nun ggT(P,Q) = 1, so gilt P≣1 mod Q und damit P²≣1²=1 mod Q, also ggT(P²,Q)=1; also Q≣1 mod P² und damit Q²≣1²=1 mod P², also ggT(P²,Q²)=1.

Da p/q = P²/Q² und ggT(p,q)=1=ggT(P²,Q²) folgt aus der eindeutigen Darstellung von irreduziblen Brüchen, dass p=P² und q=Q².

                                                                                                     QED.

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Kommentar von kreisfoermig
29.10.2016, 16:03

Beispiele. Gemäß diesen beiden Ergebnissen sind die Wurzeln von folgenden Bruchzahlen irrational:
1/2; 2/3; 2/10(=1/5); 7/10; 2300/13; … usw.

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Eine Wurzel einer ganzen Zahl ist immer Ganzzahlig oder irrational. Also alles was nicht aufgeht.

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Genau dann, wenn der Radikand (=Zahl unter der Wurzel) ein Quadrat eines rationalen Bruches ist, ist die (Quadrat-)Wurzel rational.

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