Ideen für eine Arbeit über die Unendlichkeit

4 Antworten

Die Auffassung über das Unendliche hat sich im 19.Jh. (->Mengenlehre) gewandelt, lies mal über aktuale Unendlichkeit und potentielle Unendlichkeit (http://de.wikipedia.org/wiki/Aktuale_Unendlichkeit). Es gab in der Mathematik auch einen Streit darüber. Eine Minderheit der Mathematiker (Konstruktivisten) akzeptiert das aktual-Unendliche nicht. Die meisten sehen heute aber kein Problem darin.

Es sollten Begriffe wie Kardinalzahl, abzählbar unendlich, überabzählbar unendlich erwähnt werden. Weitere Schlagworte sind Ordinalzahlen und Transfinite Arithmetik.

Auf Wiki findest du zum Beispiel eine Erklärung, wie man mit ∞ rechnen kann.

Ein Buch zum Thema Mengenlehre wäre hilfreich. Folgendes ist auch wichtig:

  • Grund für die formale Definition von unendlichen Mengen:
    • Georg Cantor; zwecks Lösung eines bestimmten Problems in Ana1ysis „erfand“ er die formale Vorstellung der Ordinalzahlen um unendliche trigonometrische Reihen zu untersuchen.
  • Das Unendliche als Konzept in anderen Bereichen: auch hier sollen Missverständnisse bzw. Missbrauche erwähnt werden (etwa, wenn der Bergriff zu eng beschränkt wird, oder als Vorstellung zu unklar definiert wird).

Die verschiedenen Sorten von dem Unendliche:


Philosophie / Metaphysik:

  • Perfektion.
  • ein Ideal.

Sprachwissenschaft:

  • unveränderte/undeklinierte Formen von Wörtern

Das Unendliche als Position (Ordinalzahlen)

  • 0; 1; 2; … ; n; n+1; … <— am „Ende“ dieser Reihenfolge wird anschließend fortgesetzt:
  • 0; 1; 2; … ; n; n+1; … ω; ω+1; ω+2; … ω·2; ω·2+1…ω·3… ω·ω=ω² … ω³ … ω^ω …

Das Unendliche als Anzahl (Kardinalzahlen)

  • 0; 1; 2; … ; n ; n+1 ; … #{0; 1; …} = Aleph[0] dann komm Aleph[1] usw.
  • Hier geht es um die Anzahl der Elemente in einer Menge als Größe, nicht Position, obwohl, sich die Kardinalzahlen unter bestimmten Bedingungen ordnen lassen. Seien A, B Mengen. Dann heißt |A| ≤ |B| genau dann, wenn es eine Injektion von A in B gibt. |A| = |B| genau dann, wenn es eine Bijektion zwischen A und B gibt. |A| < |B|, wenn |A| ≤ |B| aber |A| ≠ |B|.
  • Satz (Cantor-Bendixon). |A| = |B| genau dann, wenn |A| ≤ |B| und |B| ≤ |A|.
  • Satz (Cantor): Die unendliche Kardinalzahlen sind unbeschränkt, es gibt kein Maximum. Nämlich für jede Menge X gilt |P(X)| > |X| streng, wobei P(X) = Potenzmenge von X = {A : A⊆X}
  • Satz (Hartog): Ähnliche Folgerung, aber anders bewiesen: es gibt für jede Menge X, eine Menge X⁺, so dass |X| < |X⁺| unmittelbar.

Das unendliche als Maß oder Grad

  • die Menge der reellen Zahlen R wird als lineare geordnete Struktur versehen, und an b Ende die Größen -∞; ∞ angehängt, so dass:
    • -∞ < r < ∞ für alle r ∈ R

Geometrische/topologische Vorstellungen von Unendliche:

  • Einpunktkompaktifikation von lokalkompakten Räumen:
    • z. B. R is lokalkompakt. Man betrachte als Kreis wie folgt: in R^2 wird die x-Achse für R gehalten. Um (0; 1) als Mittelpunkt wird der Einheitskreis C gezeichnet. Eine Zuordnung zwischen Punkten auf R und Punkten auf C wird erstellt: Sei P ein Punkt auf C \ {(0; 2)}; man zeichne eine Tangente zum Kreis bei P. Diese Gerade trifft R bei einem Punkt xᴾ. Die Zuordnung P |—> xᴾ ist nun eine Bijektion (Homöomorphismus), und verschafft eine topologische Kopie von R. Es fehlt nur der Nordpol des Kreises. Diese Punkt vervollständigt den Raum und wird daher ∞ gennant, weil für (ri) in R mit |ri| —> ∞ gilt r_i —> diesen Punkt.

Es gibt gewiss auch andere Vorstellungen von Unendlichkeit…

Für mehr über das Unendliche in Mengenlehre hier ein paar gute Links:

  • unendliches.net/german/
  • homepage.univie.ac.at/esther.ramharter/Cantor.pdf

Wenn du Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre in der Bibliothek finden kannst, wäre das auch hilfreich.

In 1870 löste Cantor mittels unendlicher Mengenlehre ein großes Problem in Ana1ysis.

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Wenn du Information zu dem Problem und seiner Lösung findest, wäre das auch gut.

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Was verbindet ihr mit Unendlichkeit? Definition?

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