Ideen für eine Arbeit über die Unendlichkeit

4 Antworten

Die Auffassung über das Unendliche hat sich im 19.Jh. (->Mengenlehre) gewandelt, lies mal über aktuale Unendlichkeit und potentielle Unendlichkeit (http://de.wikipedia.org/wiki/Aktuale_Unendlichkeit). Es gab in der Mathematik auch einen Streit darüber. Eine Minderheit der Mathematiker (Konstruktivisten) akzeptiert das aktual-Unendliche nicht. Die meisten sehen heute aber kein Problem darin.

Es sollten Begriffe wie Kardinalzahl, abzählbar unendlich, überabzählbar unendlich erwähnt werden. Weitere Schlagworte sind Ordinalzahlen und Transfinite Arithmetik.

Auf Wiki findest du zum Beispiel eine Erklärung, wie man mit ∞ rechnen kann.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathematik

Hast ja schon zwei super Antworten. Generell kann man das natürlich von mehreren Seiten betrachten:

  • geschichtliche Entwicklung, Neudefinitionen etc.
  • Annäherungen an die Vorstellungen. Warum brauchen wir die Unendlichkeit in der Mathematik? Was soll sie ausdrücken?
  • Welche Arten von "Unendlichkeit" gibt es? bijektive Abbildung -> abzählbar unendlich. Warum R unendlich mal mehr Elemente besitzt als N und Q. Warum Q genausoviele Elemente besitzt wie N (erscheint im ersten Blick unlogisch, ist mathematisch aber einfach zu beweisen). Die Beweisführungen bitte genau machen, stehen eh in jedem Standardwerk. Gerade bei der Unendlichkeit muss man sich korrekt ausdrücken und man darf sich um keine Definition herummogeln.
  • Vielleicht auch mal bei den "kleinen" Problemem anfangen. Was ist denn "unendlich KLEIN"? Wie war das nochmal mit "Unendlich durch Unendlich"? Warum können da unterschiedliche Ergebnisse rauskommen. L'Hospital reinbringen - Warum funktinioert das? Finite Grenzwerte!
  • Einsatzgebiete. Wo wird die Unendlichkeit als Rechenhilfe ausgenützt? Man könnte da beispielsweise in den Bereich der Geokalküle gehen und auf Basis der "homogenen Koordinaten" die "Unendlichkeitspunkte" erklären. Klingt vielleicht gerade ein bisschen kompliziert, ist aber recht einfach und schnell zu verstehen. Es bieten sich ja auch andere Gebiete für Beispiele an. Astronomie beispielsweise.
  • Wie ist das mit den Unendlichkeiten denn auf dem Computer? Müssen da andere Lösungen her? Welche Fehler tretten (gerade auch im unendlich Kleinem) in der Numerik auf?
  • Man könnte den Einstieg auch von der Philosophie aus machen: aktual unendlich und potentiell unendlich. Gar nicht uninteressant und auch gut in Verbindung zur mathematischen "Vorstellung" von der Unendlichkeit zu setzen.

Ich hoffe, da waren genug Anregungen dabei. Kannst ja auch mal mit deinem Lehrer absprechen, in welche Richtung du gehen solltest. Alles kriegst du ja nie unter. Ich denke auch, die Hauptpunkte hat "Suboptimierer" genannt. Da sollte dein Gewicht drauf liegen. Das ist auch wirklich Mathematik ;-)

Gruß,
Balu

Ergänzung für die Einsatzgebiete: Ihr hattet ja beispielsweise den Beweis für ein Standardintegral auf der Schule gemacht, oder nicht? Diese Balkenreihe, bei denen man die Kante längs x-Achse unendlich klein werden hat lassen? Auch eine gute Hilfsmethode durch Unendlichkeitrechnung, um auf einen reellen Wert zu kommen. Vielleicht einfacher, als sich in Geokalküle einzulesen.Der Teufel steckt im Detail :D :D

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Ein Buch zum Thema Mengenlehre wäre hilfreich. Folgendes ist auch wichtig:

  • Grund für die formale Definition von unendlichen Mengen:
    • Georg Cantor; zwecks Lösung eines bestimmten Problems in Ana1ysis „erfand“ er die formale Vorstellung der Ordinalzahlen um unendliche trigonometrische Reihen zu untersuchen.
  • Das Unendliche als Konzept in anderen Bereichen: auch hier sollen Missverständnisse bzw. Missbrauche erwähnt werden (etwa, wenn der Bergriff zu eng beschränkt wird, oder als Vorstellung zu unklar definiert wird).

Die verschiedenen Sorten von dem Unendliche:


Philosophie / Metaphysik:

  • Perfektion.
  • ein Ideal.

Sprachwissenschaft:

  • unveränderte/undeklinierte Formen von Wörtern

Das Unendliche als Position (Ordinalzahlen)

  • 0; 1; 2; … ; n; n+1; … <— am „Ende“ dieser Reihenfolge wird anschließend fortgesetzt:
  • 0; 1; 2; … ; n; n+1; … ω; ω+1; ω+2; … ω·2; ω·2+1…ω·3… ω·ω=ω² … ω³ … ω^ω …

Das Unendliche als Anzahl (Kardinalzahlen)

  • 0; 1; 2; … ; n ; n+1 ; … #{0; 1; …} = Aleph[0] dann komm Aleph[1] usw.
  • Hier geht es um die Anzahl der Elemente in einer Menge als Größe, nicht Position, obwohl, sich die Kardinalzahlen unter bestimmten Bedingungen ordnen lassen. Seien A, B Mengen. Dann heißt |A| ≤ |B| genau dann, wenn es eine Injektion von A in B gibt. |A| = |B| genau dann, wenn es eine Bijektion zwischen A und B gibt. |A| < |B|, wenn |A| ≤ |B| aber |A| ≠ |B|.
  • Satz (Cantor-Bendixon). |A| = |B| genau dann, wenn |A| ≤ |B| und |B| ≤ |A|.
  • Satz (Cantor): Die unendliche Kardinalzahlen sind unbeschränkt, es gibt kein Maximum. Nämlich für jede Menge X gilt |P(X)| > |X| streng, wobei P(X) = Potenzmenge von X = {A : A⊆X}
  • Satz (Hartog): Ähnliche Folgerung, aber anders bewiesen: es gibt für jede Menge X, eine Menge X⁺, so dass |X| < |X⁺| unmittelbar.

Das unendliche als Maß oder Grad

  • die Menge der reellen Zahlen R wird als lineare geordnete Struktur versehen, und an b Ende die Größen -∞; ∞ angehängt, so dass:
    • -∞ < r < ∞ für alle r ∈ R

Geometrische/topologische Vorstellungen von Unendliche:

  • Einpunktkompaktifikation von lokalkompakten Räumen:
    • z. B. R is lokalkompakt. Man betrachte als Kreis wie folgt: in R^2 wird die x-Achse für R gehalten. Um (0; 1) als Mittelpunkt wird der Einheitskreis C gezeichnet. Eine Zuordnung zwischen Punkten auf R und Punkten auf C wird erstellt: Sei P ein Punkt auf C \ {(0; 2)}; man zeichne eine Tangente zum Kreis bei P. Diese Gerade trifft R bei einem Punkt xᴾ. Die Zuordnung P |—> xᴾ ist nun eine Bijektion (Homöomorphismus), und verschafft eine topologische Kopie von R. Es fehlt nur der Nordpol des Kreises. Diese Punkt vervollständigt den Raum und wird daher ∞ gennant, weil für (ri) in R mit |ri| —> ∞ gilt r_i —> diesen Punkt.

Es gibt gewiss auch andere Vorstellungen von Unendlichkeit…

Für mehr über das Unendliche in Mengenlehre hier ein paar gute Links:

  • unendliches.net/german/
  • homepage.univie.ac.at/esther.ramharter/Cantor.pdf

Wenn du Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre in der Bibliothek finden kannst, wäre das auch hilfreich.

In 1870 löste Cantor mittels unendlicher Mengenlehre ein großes Problem in Ana1ysis.

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Wenn du Information zu dem Problem und seiner Lösung findest, wäre das auch gut.

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