ich wünsche mir ein konkretes Beispiel, weil sonst ich das Ding mir für den Moment nicht vorstellen kann (MATHE)?

3 Antworten

Hallo,

Du weißt, was ein Koordinatensystem ist?

Ein ebenes Koordinatensystem besteht normalerweise aus einer x-Achse und einer y-Achse, die senkrecht aufeinanderstehen und sich im Punkt (0|0) (Koordinatenursprung) schneiden.

Bei einem räumlichen Koordinatensystem gibt es noch eine z-Achse, die senkrecht auf den beiden anderen steht.

Diese Art nennt man kartesisches Koordinatensystem.

Die Achsen kannst Du durch Einheitsvektoren wiedergeben.

Bei einem räumlichen kartesischen System sind die Einheitsvektoren

für die x-, die y- und die z-Achse (1/0/0), (0/1/0) und (0/0/1), die mit einem reellen Faktor multipliziert werden und so jede beliebige Länge annehmen können und auch in die Gegenrichtung gehen können, wenn sie mit einem negativen Faktor multipliziert werden.

Wenn Du einen Punkt (2/-1/3) hast, kommst Du zu ihm, indem Du 2 Einheiten in die Richtung gehst, die der x-Vektor anzeigt, von da aus 1 Einheit in die Gegenrichtung des y-Vektors, von da aus 3 Einheiten in Richtung des z-Vektors.

Jeder dieser Basisvektoren zeigt Dir also die Richtung an, in die Du gehen mußt, um einen bestimmten Punkt zu erreichen, dessen Koordinaten Du gegeben hast.

Es gibt aber nicht nur zwei- und dreidimensionale Koordinatensysteme, sondern auch solche mit viel mehr Dimensionen.

Ein Punkt in einem fünfdimensionalen Koordinatensystem (das wir uns gedanklich leider nicht mehr vorstellen können) besitzt fünf Koordinaten, während das System fünf Basisvektoren besitzt, die Dir die Richtung anzeigen, in die Du bei jeder Koordinate des Punktes gehen mußt.

Die Basisvektoren müssen nun nicht - und darum geht es in diesem Skript - unbedingt Einheitsvektoren sein, die alle senkrecht aufeinanderstehen, sondern können auch andere Winkel zueinander einnehmen und andere Grundlängen als 1 besitzen.

Wichtig ist dabei nur, daß alle Vektoren linear unabhängig ist, daß es also nicht möglich ist, einen der Basisvektoren durch eine Kombination der restlichen darzustellen.

Wenn Du zum Beispiel zwei Vektoren hast, kannst Du aus ihnen nur Vektoren erzeugen, die in derselben Ebene wie die beiden anderen liegen, aber niemals einen, der nicht in der Ebene liegt. Wenn Du einen Raumaufspannen willst, brauchst Du einen dritten Vektor, der eine ganz neue Richtung einschlagen kann, die den beiden anderen Vektoren nicht zugänglich ist.

Die andere Bedingung für Basisvektoren ist, daß in dem Raum, den sie aufspannen, durch sie jeder Vektor darstellbar ist, der genausoviele Dimensionen wie der Vektorraum besitzt.

Zum Beispiel dürfte der Nullvektor kein Basisvektor sein, weil Du mit seiner Hilfe nicht in irgendeine Richtung vorstoßen kannst. Egal, womit Du ihn multiplizierst, seine Länge bleibt immer Null.

Stell Dir Basisvektoren wie Taxis vor, die beliebige Strecken fahren können, aber nur in eine Richtung und ihre Gegenrichtung.

Mit dem x-Taxi kannst Du die x-Achse oder eine ihrer Parallelen entlang fahren, mit dem y-Taxi die y-Achse entlang oder parallel zu ihr, entsprechend mit dem z-Taxi.

Du steigst in das x-Taxi ein, sagst dem Fahrer, wie weit er fahren soll und ob er vorwärts oder rückwärts fahren soll, und er bringt Dich an den gewünschten Ort.

Von da aus kannst Du mit einem y-Taxi oder einem z-Taxi weiterfahren und kommst so - wenn auch etwas umständlich - an jeden gewünschten Punkt im Raum.

Das funktioniert aber auch dann, wenn der Raum nicht würfelförmig ist, sondern zum Beispiel spatförmig, wenn die Grundrichtungen also nicht unbedingt senkrecht aufeinanderstehen, sondern vielleicht Winkel von 50° zueinander bilden.

Hauptsache, Du kommst irgendwie nach links oder rechts, hoch oder runter, nach oben oder nach unten, weil entsprechende Taxis in die benötigten Richtungen fahren können.

Herzliche Grüße,

Willy

"spatförmig" die x, y,z Achsen müssen auch nicht unbedingt senkrecht zu einander stehen, oder? (Danke Schön)

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@25652236

Wichtig ist eben nur, daß die Taxis, um im Bild zu bleiben, immer nur parallel zu den Achsen oder auf den Achsen fahren können, denen sie zugeteilt sind, und daß das jeweils neue Taxi, das Du nimmst, Punkte erreicht, die mit den anderen zuvor auf keinen Fall erreichbar waren.

Du kannst zum Beispiel in einer Stadt so ziemlich jede Adresse über einen Fuß- oder Fahrweg erreichen, niemals aber einen Ort in der Luft 100 m über der Stadt. Dazu brauchst Du etwas, das fliegen kann.

Mit dem x- und dem y-Taxi kämst Du zwar überall auf der xy-Ebene hin, könntest aber nicht von ihr weg. Das geht nur mit einem z-Taxi.

Das y-Taxi hilft Dir hingegen, von der x-Achse wegzukommen usw.

Ein viertes Taxi würde also nur al Basisvektor taugen, wenn Du damit den Raum verlassen könntest (eine Zeitmaschine etwa oder irgendetwas unvorstellbar anderes, das Dich aus dem unendlichen dreidimensionalen Raum in eine vierte Dimension brächte.

Senkrecht müssen die Achsen dafür aber nicht aufeinanderstehen, wenn nur jede Achse eine neue Dimension eröffnet.

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@25652236

Daß n nicht senkrecht zu x liegt, heißt noch nichts, das wäre nur in einem kartesischen System interessant, weil darin sämtliche Basisvektoren senkrecht aufeinanderstehen müssen.

Wichtiger ist, daß n im gleichen Raum wie x, y und z liegt. Jeder Punkt auf n kann durch eine Linearkombination von x, y und z dargestellt werden. Damit ist n als Basisvektor unbrauchbar. Du kannst mit Hilfe von n in keine neue Dimension vordringen.

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"spatförmig" heißt : schrägförmig , oder ? (Deutsch als Fremdsprache)

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@25652236

Genau. Google doch einfach mal Spat und sieh Dir Bilder dazu an.

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@Willy1729

Ein Spat ist so etwas wie ein schiefer Quader.

Stell Dir ein Bücherregal vor, das nicht stabilisiert ist, sondern irgendwie zur Seite wegkippt, wobei die Regalbretter trotzdem waagerecht bleiben.

Stichwort: Einzelstehendes Ikea-Regal ohne Rückwand und ohne das Metallkreuz hinten.

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@Willy1729

Die Basisvektoren können in alle möglichen Richtungen auseinanderstreben. Hauptsache ist, daß jeweils zwei von ihnen eine Ebene aufspannen, die kein anderes Paar Vektoren aufspannt oder drei von ihnen eine Raum, den keine drei anderen aufspannen usw.

Mit jedem Basisvektors muß eine vollkommen neue Richtung eingeschlagen werden können.

Mathematisch weist Du das nach, indem Du die Determinante der Basisvektoren bildest.

Wenn sie nicht linear unabhängig sind, ergibt ihre Determinante eine Null.

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Tatsächlich ist da schon ein sehr gutes Beispiel angegeben, nämlich der R^3 Vektorraum. Das ist ein recht einfach zu verstehender Vektorraum. Offensichtlich ist seine Basis dreielementig und eine passende Basis zu finden, ist auch keine große Leistung.

Zwei zeilen weiter unten steht ein Beispiel.

Bitte sag mal, wie sind sie da im Beispiel linear unabhängig? Danke

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