Ich verstehe die Vorangehensweise folgender Aufgabe nicht?

1 Antwort

Hallo,

ich helfe Dir bei der ersten Aufgabe.

Du kannst davon ausgehen, daß das Merkmal normalverteilt ist. Das bedeutet, daß bei den meisten Stichproben das Merkmal zu 40 % vorliegt und daß Stichproben, bei denen das nicht der Fall ist, immer seltener werden, je mehr sich ihr tatsächlicher Mittelwert vom Erwartungswert entfernt.

Das bedeutet: Wenn Du eine Probe von 2500 Tieren hast und es gibt den Erfahrungswert, daß 40 % der Tiere das Merkmal besitzen, kannst Du mit einer höheren Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, daß 1000 Tiere (40 % von 2500) das Merkmal besitzen, als daß Du beispielsweise nur 300 Tiere mit diesem Merkmal findest.

Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu ermitteln, daß Du in Deiner Stichprobe nicht die erwarteten 1000, sondern 1020 Tiere findest, mußt Du zunächst die Standardabweichung σ ermitteln. Sie berechnet sich aus √(µ*q), also aus dem Erwartungswert µ (hier: 1000) und der Gegenwahrscheinlichkeit q, also 100-40 %=60 %=0,6

√(1000*0,6)=√600=10*√6=24,495=σ

Diese Standardabweichung nimmst Du als Einheit, um wieviel sich der beobachtete oder der zu berechnende Wert vom Erwartungswert entfernt.

Wir haben eine Abweichung von mindestens 20 Tieren nach oben (1020 statt 1000), das sind in σ-Einheiten 20/24,495=0,8165

Diesen Wert nennt man auch z.

Nun gibt es eine Formel, wieviel Prozent aller Werte im Bereich zwischen Null und Erwartungswert plus z unter der Glockenkurve der Normalverteilung liegen. Die Kurve ist so berechnet, daß von Null bis zum Mittelwert genau 50 % aller Werte liegen.

Der Mittelwert ist dabei auf Null gesetzt. Sind die beobachteten Merkmalsträger mehr als der Erwartungswert, hast Du eine Abweichung von z, sonst von -z.

Wir sind hier bei einer Abweichung von z=0,8165.

Nun kannst Du entweder in einer Tabelle zur kumulierten Normalverteilung unter p=0,4 und z=0,8165 nachschlagen, wieviel Prozent aller Werte bis dahin unter der Kurve liegen oder Du mußt es über ein Integral berechnen, das nur über Näherungsverfahren zu lösen ist:

[1/√(2π)]*∫e^(-0,5x²)dx, wobei die untere Integralgrenze -5 ist, die obere z.

Die untere sollte bei höchstens -5 liegen, weil sich die Glockenkurve nach links und nach rechts der x-Achse unendlich annähert. Bei x=-5 ist sie schon so nah an der x-Achse, daß der Anteil links davon kaum noch ins Gewicht fällt.

Das Integral zu lösen kannst Du ziemlich vergessen. Zum Glück kann fast jeder vernünftige Rechner mit Integralen umgehen.

Meiner spuckt als Wert 0,793 aus. Das heißt: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 79,3 % ist damit zu rechnen, daß Deine Stichprobe zwischen Null und 1020 Merkmalsträger aufweist.

Damit bleibt für den Bereich zwischen 1020 und 2500 nur noch der Rest bis 100 %, also 20,7 %.

Die Kurve flacht also jenseits des Erwartungswertes ziemlich rasch ab.

Du kannst als Integralgrenzen natürlich auch 0,8165 und 61,237 nehmen, also (1020-1000)/24,495 und (2500-1000)/24,495

Dann kommst Du direkt auf den gesuchten Wert.

Näheres findest Du unter dem Stichwort Normalverteilung und Gaußsche Glockenkurve im Netz.

Herzliche Grüße,

Willy

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