Ich verstehe die "eingekreiste" umformung nicht kann das jemand erklären?

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2 Antworten

Das ist die Anwendung der Kettenregel plus Auslassung von ein paar "trivialen" Schritten.

Hier werden die Funktionen

u(z) = √(z)

und

v(z) = z²

verkettet zu

(u ∘ v)(z) = √(z²)

was natürlich die Identität ist, aber auf diese Weise kommt man durch Anwendung der Verkettungsregel der Differentialrechnung auf den folgenden Ausdruck, der in gewissem Sinne leichter handhabbar ist.

x∥ bezieht sich hier auf die übliche Norm

x∥ = √(x₁² + x₂² + ...)

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Die abzuleitende Funktion steht in polar Koordinaten (r,ø,…), aber die Ableitung ist bzgl. des kartesischen Variablensystems (x1, x2, …). Deshalb übersetze man die Funktion ins kartesische, um die partielle Ableitung leichter zu berechnen:

(∂/∂xi) r = (∂/∂xi) √r²
= 1/2√r² · (∂/∂xi) r²
= 1/2r · (∂/∂xi) ∑xj²
= 1/2r · 2·xi
… da (∂/∂xi) bzgl.
Variablensystem {x1,x2,…}
= xi/r

Darum gilt grad(r) = ∑ (∂/∂xi) r · ei = ∑ xi/r · ei = x / r.

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