Ich suche eine Folge, für die gilt....

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3 Antworten

Eine solche Folge gibt es nicht (natürlich alle An ≠ 0 vorausgesetzt). Beweis:

Es gilt: Für alle ε>0 gibt es ein natürliches N mit |An - a| < ε für alle n>=N.

| 1/An - 1/a | = | (a - An) / (An * a) | < ε / |An * a| < 2ε / a² wenn n genügend groß.

Damit wird | 1/An - 1/a | beliebig klein, wenn nur n genügend groß ist und das heißt, der Grenzwert von 1 / An ist 1 / a.

BaluDerTanzbaer 06.12.2013, 13:57

DH!

P.S. an den Fragesteller: Es ist erlaubt, nachträglich eine eigene Antwort zu erstellen, um anderen Beantwortern die hilfreichste Antwort zu verleihen ;-)

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psychironiker 06.12.2013, 22:57

A. Für "Normalverbraucher" wie mich sollte man vielleicht dazusagen:

Für hinreichend große n ist

| An | > | a | / 2 ( > 0) ;

weil fast alle An in einer Umgebung von a liegen, die | a | / 2 nicht enthält. Für diese An ist:

1 / | An | < 2 / | a |

1 / |An * a| < 2 / a²;

für beliebig vorgegebenes ε' > 0 gilt daher mit ε = ε' * a² / 2 > 0 für hinreichend große n:

ε' = 2ε / a² > ε / | An * a | > ... (wie angegeben).


B. Keineswegs müssen alle An ≠ 0 sein. Vielmehr macht es überhaupt nichts, wenn die ersten 100^(100^100) Folgenglieder An = 0 sind, denn das sind endlich viele.

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Ein kurzer Blick in ein Analysis1-Buch hätte deine Frage beantwortet, denn es wird dort stets bewiesen, dass mit an-->a und bn-->b mit b<>0 gilt: an/bn-->a/b.

Ich nehme an, dass " =!=" ungleich (also "≠ ") bedeuten soll (und komme auf anderem Wege zum gleichen Ergebnis):

Ein solches Beispiel wird nicht zu finden sein, denn es lässt sich beweisen, dass

lim An → a ≠ 0

eine hinreichende Bedingung für

lim (1 / An) → 1/a

ist.


Beweis:

Sei lim An → a, O.B.d.A. a > 0 (der Rest per Spiegelung)

Sei ε' > 0 vorgegeben. O.B.d.A. ist ε' < 1/a ⇔ 1 - aε' > 0

Dann lässt sich ein 0 < ε < min [ a; ε'a² / (1 +ε'a) ] wählen.

Für dieses ε gilt:

ε < ε'a² / ( 1 +ε'a) ; | * (1 +ε'a) > 0

ε + ε'εa < ε'a²; | -a - ε'a²

ε -a +ε'εa - ε'a² < -a

(ε - a)(1 + ε'a) < -a < 0

(a -ε)(1 + ε'a) > a ; | : (1 +ε'a) > 0

a - ε > a / (1 + ε'a) > 0

1/(a -ε) < (1 +ε'a) / a = 1/a + ε'; (1)

weiter gilt für dieses ε :

ε < [ ε'a² / (1+ ε'a) <] ε'a² / (1- ε'a) ; | * (1 - ε'a) > 0

ε - ε'εa < ε'a²; | -ε'a² +a

a + ε -ε'a² - ε'εa < a

(a +ε)(1 - ε'a) < a ; | : a(a +ε)> 0

(1 -ε'a)/a = 1/a - ε' < 1 / (a +ε) , (2)

Wegen lim An → a gibt es für ε ein n0 so, dass für alle n > n0 gilt:

0 < a -ε < A(n) < a +ε ⇔

1/(a -ε) > 1/A(n) > 1/ (a +ε)

(mit (1) und (2)) :

1/a + ε' [ > 1/(a -ε)] > 1/A(n) [ > 1/ (a +ε)] > 1/a - ε' ;

also konvergiert 1/An gegen 1/a.

Kungfukuh 06.12.2013, 16:55

kein Plan, ob der Beweis stimmt, aber ein DH gebe ich dir für die Mühe.

Eigentlich hat Rowal schon einen (kurzen) Beweis angegeben :-)

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psychironiker 06.12.2013, 20:14
@Kungfukuh

Deine Rückführung auf bekannte Tatsachen finde ich sogar noch eleganter (Grenzwertsätze waren in meiner Generation Schulwissen, jedenfalls im Leistungskurs, ist allerding schon ein paar Jährchen her.) Leider fiel mir der Trick mit der konstanten Funktion als Zählerfunktion nicht früher ein.

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