Ich soll die Folge b1 = 1 bn+1= bn+2/bn+1 auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz untersuchen. Wie stelle ich das jetzt am besten an?

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2 Antworten

Ich schaue die Folge momentan am 'richtigen' Computer an. Ohne Klammern ist sie ja ziemlich frei interpretierbar (meine Kommentare von gestern abend sind vermutlich etwas daneben).

Wahrscheinlich meinst Du eine der folgenden Varianten:

  1. bₙ₊₁ = bₙ + 2/bₙ + 1 ⇒ 1, 4, 11/2, 151/22 ... (→∞)
  2. bₙ₊₁ = bₙ + 2/(bₙ+1) ⇒ 1, 2, 8/3, 106/33, ... (→∞)
  3. bₙ₊₁ = (bₙ+2)/bₙ + 1 ⇒ 1, 4, 5/2, 14/5, 19/7, ... (→1+√3)
  4. bₙ₊₁ = (bₙ+2)/(bₙ+1) ⇒ 1, 3/2, 7/5, 17/12, ... (→√2)

Monotonie prüfst Du mit bₙ₊₁>bₙ (steigend) oder bₙ₊₁<bₙ (fallend). Bei 3. und 4. widerlegst Du Monotonie mit den ersten Folgegliedern.

Beschränktheit ist etwas schwieriger, weil bₙ ja auch im Nenner vorkommt. Finde eine obere und untere Schranke und zeige, dass alle Nachfolger daraus auch in diesem Intervall liegen. Bei 3. tut's zum Beispiel 2<bₙ<4: ⇒ (2+2)/4+1<bₙ₊₁<(4+2)/2+1 passt prima. Folge 1. ist offensichtlich unbeschränkt, da bₙ₊₁-bₙ>1. Bei 2. wird's etwas schwieriger — außer Du darfst die Unbeschränktheit der Reihe Σ(1/n) verwenden.

Konvergenz folgt zwar sofort aus Monotonie und Beschränktheit, aber das klappt hier ja in keinem Fall. Die Divergenz von 1. und 2. folgt sofort aus deren Unbeschränktheit. Und bei 3. und 4. dürfte es am einfachsten sein, den Fixpunkt f zu berechnen und dann zu zeigen, dass bₙ₊₁ näher dran liegt als bₙ: |bₙ₊₁-f|<|bₙ-f|.

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Kommentar von xDkimixD
18.11.2016, 18:59

Vielen Dank :) Ich schaue mal, was mir Montag dazu erklärt wird! Du hast mir sehr geholfen 

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Inwiefern ist das eine Folge?

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Kommentar von xDkimixD
15.11.2016, 21:26

bn+1 = bn+2/bn+1 ist die Folge und dazu ist noch b1=1 gegeben

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