ich soll den Flächeninhalt zwischen zwei parablen bestimmen f(x) = x² - 2 und f(x) = -x² +2x +2 Lösungs(versuch) ist unten bei Details :?

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4 Antworten

Fläche zwischen 2 Kurven ist A= Integral ( f(x) - g(x)

f(x) ist die obere Begrenzung und g(x) ist die untere Begrenzung.

1. Schritt Schnittpunkte berechnen durch gleichsetzen  der beiden Funktionen f(x)=g(x)

Schnittpunkte bei x1= - 1 und x2= 2 hab ich mit meinen Graphikrechner (Casio) ermittelt. Solltest dir auch privat einen zulegen.

2. Schritt : Die Funktionen f(x) und g(x) in die Formel einsetzen

3. Schritt Ausrechnen und integrieren

4. Schritt A= obere Genze  minus untere Grenze mit xu und xo,sind die Schnittpunkte  

f(x) = - 1 *x^2 +2 *x +2 obere Begrenzung g(x)= x^2-2

eingesetzt A= Int. ( - 1 *x^2+2*x+2 ) - ( x^2 - 2) * dx ergibt

A= Int . (- 2 *x^2+2*x + 4 ) *dx integriert

A= - 2/3 * x^3 + x^2 + 4 *x + C 

A = obere Grenze minus untere Grenze 

xu= - 1 untere Grenze und xo= 2 obere Grenze

A= ( - 2/3 * 2^3 + 2^2 + 4 *2) - ( - 2/3 * (-1)^3 + (-1)^2+ 4 * (-1)

A= (6,666.). - ( - 2, 333..) = 8.999... = 9 FE

HINWEIS : Speziell bei dieser Formel,kann man über Nullstellen im Intervall (xu -xo) hinweg integrieren,weil vor g(x) ein Minuszeichen steht und somit die Flächen unter der x-Achse ein positives Vorzeichen bekommen und somit zu der Gesamtfläche addiert werden.

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island92 11.07.2016, 05:40

Danke für die ausführliche Erklärung:

ich hab jetzt nochmal alles nachgerechnet:

die Funktion müsste noch 2x² - 2x -4 lauten (Auch wie Volen schreibst?)

Damit wäre die Stammfunktion 2/3x³ - x² - 4x in den Grenzen von 2 und - 1

womit es - 20/7 - 7/3 = - 9 wäre. Aber eine Minus Zahl darf ja nicht raus kommen?

Hoffe du hast nochmal Zeit :)

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fjf100 11.07.2016, 17:04
@island92

Flächenberechnung zwischen 2 Funktionen

Formel A= Integral ( (f(x) - g(x)) * dx

f(x) ist die "obere Begrenzung"

g(x) ist die "untere Begrenzung"

Wenn nun f(x) und g(x) vertauscht werden,dann erhält das Ergebnis ein "Minuszeichen" 

Dies bedeutet : Man muss die  beiden Funktionen vertauschen,so das ein Ergebnis mit positiven Vorzeichen herauskommt.

MERKE : Der Betrag vom Ergebnis bleibt gleich  , nur das Vorzeichen ändert sich.

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ehm... dass du die schnittpunkte brauchst ist richtig, aber wenn du die beiden gleichungen gleichsetzt und alles auf eine seite bringen willst, dann kommt da kein x^4 raus. x^2 + x^2 ergibt 2*x^2

wenn du es richtig auf eine seite gebracht hast, kannst du also einfach p-q-formel nehmen, um die schnittpunkte rauszubekommen

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x² - 2           =   -x² +2x        | + x² - 2x
2x² - 2x - 2  =   0                 | /2
  x² -   x - 1  = 0                                    p = -1         q = -1 

Damit musst du die Nullstellen berechnen, aber die ganze Funktion

f(x) = 2x² - 2x - 2           integrieren, und zwar von Nullstelle bis Nullstelle.

Das wird bei den beiden Nullstellen etwas unangenehm werden.
Versuch's mal.

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island92 06.07.2016, 22:13

Also um die Fläche von zwei funktionen zu bekommen muss ich zuerst diese gleichsetzen

x² - 2           =   -x² +2x  +2

-> 2x² -2x -4

Davon die Nullstellen berechen, dass ist sind dann meine Grenzen

x1 = -1

x2 = 2

Dann von dem Gleichgesetzen Term, das Integral bilden und dort setze ich dann die Nullstellen ein?

f(x) = 2x² - 2x - 2   
F(x) = 4x - 2

und wenn ich nun dort meine NS einsetzte kriege ich die Fläche?

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Volens 06.07.2016, 22:31
@island92

So ist es. Aber gemacht hast du es nicht. ich habe dir p und q schon hingeschrieben, aber du hast keine Nullstellen errechnet.
Die p,q-Formel heißt:

x₁,₂ = -p/2  ± √((p/2)² - q)

Die musst du schon anwenden, sonst stimmt es nicht.

Die Integration ist auch nicht so toll.
Die 2 kannst du zwar ausklammern, aberx² = x³ / 3


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Volens 06.07.2016, 22:34
@Volens

Du hast abgeleitet statt integriert.

Versuch erst mal, die Nullstellen zu bekommen. Du kannst dich gern wieder melden.

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island92 11.07.2016, 05:41
@Volens

Danke für die ausführliche Erklärung.

Stimmt ich habe dummerweise statt die Stammfunktion zu bilden abegleitet -..-

ich hab jetzt nochmal alles nachgerechnet und noch eine Frage

die Funktion lautet ja 2x² - 2x -4

Damit wäre die Stammfunktion [2/3x³ - x² - 4x] in den Grenzen von 2 und - 1

womit es - 20/7 - 7/3 = - 9 wäre, wenn man die Grenzen einfügt. Aber eine Minus Zahl darf ja nicht raus kommen?

Danke nochmal.

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Das mit dem "Schnittpunkte berechnen" solltest du noch mal gründlich anmeditieren. Der Ansatz ist völlig richtig, aber die Nummer mit dem " x^4 " nimmt dir niemand(!) ab. 

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island92 06.07.2016, 21:50

ohweih - ist natürlich 2x² -2x -4.. -.-

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