Ich möchte die Städte A, B und C (die nicht auf einer Geraden liegen)mit einer Eisenbahn verbinden. Wie löse ich das Problem mit möglichst wenig Schienen?

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4 Antworten

Die Aufgabe hat's in sich! Mein allgemeiner Ansatz als Optimierungsproblem verlief nicht sehr erfolgreich (siehe Bild). Einfacher wird's im gleichschenkligen Dreieck:

Die Gleise von A und B verlaufen hier in einem Winkel von ±30° zur Basis c. Sie treffen sich unter einem Winkel von 120° und gehen von dort weiter zur Spitze C. Ist das Dreieck flacher als 30°, dann ist A—C—B die kürzeste Verbindung. Das lässt sich alles ziemlich leicht nachrechnen.

Ich vermute, dass dies allgemein gilt: Ist ein Winkel im Dreieck größer als 120°, dann sind dessen Schenkel die kürzeste Verbindung. Andernfalls bilden die Gleise einen "Mercedes-Stern", der durch alle drei Eckpunkte geht. Der Stern ist eindeutig, und sein Zentrum liegt innerhalb des Dreiecks.

Aber Vorsicht beim Nachprüfen: Elliptische Gleichungen können Ihre Psyche
belasten. Zu Risiken und Nebenwirkungen lesen Sie ein Mathebuch und fragen Sie ihren Arzt oder Mathelehrer.

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Kommentar von latricolore
18.03.2016, 12:44

Ich wusste es schon immer: Mathe ist tödlich! :-)))

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Wenn ich mich recht erinnere, erhältst Du die optimale Lösung, wenn Du im Dreieck ABC die Winkelhalbierenden einzeichnest und jeweils die Gleise von den Ecken zum gemeinsamen Schnittpunkt legst - natürlich müssen dann im Schnittpunkt entsprechende Weichen vorhanden sein, damit man in die jeweils gewünschte Richtung weiterfahren kann.

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Kommentar von ralphdieter
18.03.2016, 10:52

Grrr. Ich habe versucht, das zu beweisen. Dafür, dass Du mich auf die falsche Fährte geführt hast, schuldest Du mir jetzt drei Bleistifte und zwanzig Blatt Karopapier!

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A                       B

           C

Lösung:Mit einem Dreieck.Du verbindest Punkt A,B und C also nach der Form eines Dreiecks.

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Kommentar von Traeumelinchen1
16.03.2016, 17:26

Ist aber nicht die kürzeste Möglichkeit. Sollte eher wie ein "Y" aussehen. Bei gleicher Entfernung ist das einfach, aber wie sieht es aus, wenn die Punkte unterschiedlich weit entfernt sind?

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Das läuft darauf hinaus, dass du den Umkreismittelpunkt des Dreieicks ABC bestimmst.

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Kommentar von ralphdieter
16.03.2016, 19:20

Sicher? Der wäre doch bei "fast kollinearen" Punkten ziemlich weit ab vom Schuss...

Inkreis-Mittelpunkt klingt etwas plausibler, aber sicher bin ich mir da auch nicht. Ich würde ganz stumpfsinnig |AZ|+|BZ|+|CZ| minimieren.

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