Ich hätte nochmal eine Frage zur Setzung der Betragsstriche beim Wurzelziehen?

3 Antworten

Für reelle a gilt grundsätzlich: √(a²) = │a│
Die Betragstriche sind erforderlich, weil die Aussage ohne Betragstriche  falsch wäre, immer dann wenn a eine negative Zahl ist.

Was passieren würde, wenn man die Betragstriche weglassen würde, also wenn man behaupten würde:
√(a²) = a
das lässt sich am einfachen Bsp a=-4  zeigen:

√((-4)²) ausrechnen ergibt:
√((-4)²) = √16 = 4

Aber wenn man die Behauptung √(a²) = a  ohne Betragstriche anwenden würde für a=-4, dann würde
√((-4)²) = -4 ergeben. Aber -4 ist das falsche Ergebnis, da die Wurzelfunktion IMMER nur positive Ergebnisse liefert

Nur MIT den Betragstrichen ist sichergestellt, das Ergebnis positiv ist und dass die Aussage
√(a²) = │a│ richtig ist für alle reellen a.

Weglassen kann man die Betragstriche, wenn a positiv ist. Aber wenn a sowohl positiv als  auch negativ sein kann, dann muss man die Betrahstriche verwenden.

Achso also muss ich immer die Definition der Wurzel im Hinterkopf behalten

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@lop77

Ja genau.

Die grundsätzliche Frage bei diesem Thema ist ja:
Heben sich Wurzelziehen und quadrieren gegeneinander auf?

Spontan würde man denken, ja klar!
Aber so allgemein für ALLE reellen Zahlen gilt das eben nicht, sondern nur für positive Zahlen.
Man muss daher unterscheiden, ob der entspr. Term positiv oder negativ ist.

Für positive reelle Zahlen heben sich Wurzelziehen und quadrieren gegeneinander auf!
Für positive reelle a ist diese Aussage immer richtig:
√(a²) = a
[ Außerdem gilt für positive a: (√a)² = a ]

Aber für negative reelle Zahlen gilt das NICHT!
Für negative reelle a gilt:
√(a²) = -a
[ (√a)² ist innerhalb der reellen Zahlen nicht definiert für neg. a ]

► Wenn man allgemein einen Term mit Variablen hat, der sowohl positiv als auch negativ sein kann, und man beide Fälle berücksichtigen muss, dann wird die Aussage dadurch richtig, dass man die Betragstriche setzt.
Deshalb gilt für ALLE reellen a, egal ob postiv oder negativ:
√(a²) = │a│

Alles klar?

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Betragsstriche sind notwendig, wenn du die Gleichung so notierst:

sqrt((x+y)^2) =  |x + y|

Denn die Gleichung

sqrt((x+y)^2) = x + y

(also ohne Betragsstriche geschrieben)  ist schlicht und einfach nicht für beliebige Werte von x und y gültig !

Wurzel16 = -4 u. +4. . Wenn man nun [Wurzel16] vorliegen hat und(Betrag:=[]) ist, dann ist das lediglich 4.

Nein, die Quadratwurzel ist IMMER eine positive Zahl.

Viele verwechseln das, weil etwa die Gleichung

x² = 4

zwei Lösungen hat, nämlich
+Wurzel(4) = +2
und
-Wurzel(4) = -2

aber die Wurzel selbst ist immer positiv!

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Wurzel(16) = -4 u. +4

Nein, das ist falsch !

Eine Wurzel aus einer positiven Zahl hat stets (definitionsgemäß) nur einen einzigen Wert, und zwar einen positiven.

Die Gleichung  x^2 = 16  hat zwar zwei Lösungen, nämlich  x1 = +4 und  x2 = -4 . Dabei ist  x1 = √(16)  und  x2 = -√(16) .

Ich frage mich, warum es immer wieder notwendig ist, auf die Eindeutigkeit der Definition von Wurzelausdrücken hinzuweisen.

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@rumar

Würde man nämlich zulassen, dass die beiden Gleichungen
√(16) = +4 und √(16) = -4 zutreffen, würde nach einem ganz grundlegenden logischen Gesetz folgen, dass +4 = -4 sein müsste. Und damit kannst du dich doch wohl auch nicht einverstanden erklären, oder?

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