ich habe folgendes Integral (2x-5)/(x-1)², dieses soll ich lösen:?

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3 Antworten

zuerst einmal: Die Nullstelle des Nenners siehst Du bei (x-1)² direkt. Die Klammer muss Null werden, d. h. Ausmultiplizieren ist nicht nötig.

Bei doppelten Nullstellen musst Du folgende Gleichung aufstellen:

(2x-5)/(x-1)² = a/(x-1) + b/(x-1)²        |rechte Seite auf Hauptnenner bringen
(2x-5)/(x-1)²= (a(x-1)+b)/(x-1)²          |*(x-1)²
2x-5= a(x-1)+b
2x-5=ax-a+b

Koeffizientenvergleich: a=2 und -a+b=-5 => b=-5+a=-5+2=-3

also: (2x-5)/(x-1)²=2/(x-1) -3/(x-1)²

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(2*x+5)/(x-1)^2= A/(x-1)^2 + B/(x-1) Diese Gleichung gilt nur wenn nur eine Nullstelle vorhanden ist ,hier x1= 1

Wieso,weshalb,warum ,weiss ich nicht

ergibt 2*x+5= A/(x-1)^2 *(x-1)^2 + B/(x-1) * (x-1)^2

2*x+5= A+ B * (x-1) =A +B*x - B= (A - B) + B *x

koeffizientenvergleich gleicher Potenzen von x

2 * x^1 + 5 *x^0=(A-B) * x^0 + B *x^1 ergibt 2 Gleichungen

1.   2=B

2.   5=(A-B) ergibt  A= 5+B= 5+2= 7 eingesetzt

2*x+5= 7/(x-1)^2 + 2/(x-1) nun eine Probe mit x=2

2 *2 +5= 9 und 7/(2 -1)^2 + 2/(2-1)=9 Gleichung stimmt also

Integral ( (2*x+5)/(x-1)^2 * dx = Int.( 7/(x*-1)^2 + Int.( 2/(x-1)

Int (7/(x-1)^2 *dx= -1 * 7/(x-1) +C

Int ( 2/(x-1) dx = 2 *ln(x-1) + C

ergibt ( ")= - 1 *7/(x-1) + C +2 * ln(x-1) + C

Int: (2*x+5)/(x-1)^2 = - 1 *7/x-1) + 2 * ln(x-1) +C

Probe mit xu=1,5 und xo=4 ergibt bei (2*x+5)/(x-1)^2= 15,249 FE

xu untere Grenze xo obere Grenze

habe ich mit meinen Graphikrechner (Casio)ermittelt.

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