Ich habe eine Aufgabe: x^2=Wurzel von ( 2-x^2) + 2?

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3 Antworten

x ^ 2 = √(2 - x ^ 2) + 2 | - 2

x ^ 2 - 2 = √(2 - x ^ 2) | ... ^ 2

(x ^ 2 - 2) ^ 2 = 2 - x ^ 2

x ^ 4 - 4 * x ^ 2 + 4 = 2 - x ^ 2 | - 2 und + x ^ 2

x ^ 4 - 3 * x ^ 2 + 2 = 0

Substitution --> z = x ^ 2

z ^ 2 - 3 * z + 2 = 0

Kennst du die pq - Formel ?

pq - Formel anwenden -->

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/pq-formel-quadratische-gleichungen-mathematik.html

z _ 1 = 1

z _ 2 = 2

Rücksubstitution -->

Weil z = x ^ 2 ist, deshalb ist x = -/+ √(z)

Das musst du sowohl auf z _ 1 als auch auf z _ 2 anwenden.

x _ 1 = - √(1) = -1

x _ 2 = + √(1) = +1

x _ 3 = - √(2)

x _ 4 = + √(2)

Da bei Gleichungen dieser Art "Phantomlösungen" auftreten können, das sind Lösungen die die ursrüngliche Gleichung nicht erfüllen, muss man immer eine Probe machen -->

x ^ 2 = √(2 - x ^ 2) + 2

(-1) ^ 2 = √(2 - (-1) ^ 2) + 2 (Das ist falsch, deshalb ist x _ 1 keine Lösung)

(1) ^ 2 = √(2 - (1) ^ 2) + 2 (Das ist falsch, deshalb ist x _ 2 keine Lösung)

(-√(2)) ^ 2 = √(2 - (-√(2)) ^ 2) + 2 (Das ist korrekt, deshalb Lösung)

(+√(2)) ^ 2 = √(2 - (+√(2)) ^ 2) + 2 (Das ist korrekt, deshalb Lösung)

Nur x _ 3 = -√(2) und x _ 4 = +√(2) sind Lösungen.

fjf100 19.02.2016, 00:12

mein Graphikrechner (Casio) ,gab bei x1= 1,34 und x2=- 1,34 auf.Er konnte die Aufgabe nicht lösen. 

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DepravedGirl 19.02.2016, 16:27
@fjf100

Das ist schade ;-((

WolframAlpha packt es noch.

Sobald etwas zu fies wird, zum Beispiel 200 Zeichen glaube ich überschreitet, ist mit WolframAlpha auch nichts mehr zu machen.

Wahrscheinlich muss man dann zum teuren Mathematica greifen.

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Du hast glaub einen Denkfehler...

x² zum Quadrat... da musst du doch keine Binomische Formel anwenden..

das ergibt x^4=2-x^2

Danach das x^2 durch z ersetzen und dann mitternachtsformel einsetzen

Schachpapa 19.02.2016, 00:17

Wenn nicht hinter der Wurzel noch +2 gestanden hätte ...

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x^2 = wurzel von (2-x^2) + 2   | quadrieren

=> x^4 = 2-x^2 + 4 | auf eine seite bringen

=> x^4 - x^2 + 6 = 0 |Substituieren : x^4 = z^2 , x^2 = z

=> z^2 - z + 6 = 0 | Mitternachtformel

=> z1/z2 = irgendeinergebnis 

=> RESUB : z => x^2  => um x zu bekommen ziehst du die wurzel von z

Schachpapa 19.02.2016, 00:20

Vor dem Quadrieren noch 2 auf die andere Seite bringen, sonst geht das schief, denn:

das Quadrat von     wurzel(x)+y
ist                          x + 2y wurzel(x) + y²

d.h. du hast immer noch die Wurzel, die du eigentlich weghaben wolltest

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