Ich glaube es ist eine Optimierungsaufgabe (Minimum)

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3 Antworten

Skizziert man die Situation, kann man die Entfernung von der x.Achse zu A mit a sowie die zum Punkt B mit b bezeichnen. Daher wäre (a + b) zu minimieren. Dabei ist der "wandernde" Punkt auf der x-Achse mit (1 + x) oder (3 - x) zu beschreiben.

Mit Pythagoras ermittle ich:
a² = (1 + x)² + 1²
b² = (3 - x)² + 2²

a² = 1 + 2x + x² + 1
b² = 9 - 6x + x² + 4

a² + b² = 10 - 4x + 2x² + 5

Wenn (a + b) minimal sein soll, muss auch (a² + b²) minimal sein. Deshalb nehme ich dies als Funktion:

f(x) = 2x² -4x + 15
f ' (x) = 4x - 4

Der Rest ist klar. f ' (x) = 0 führt zu x = 1

x war aber die laufende Differenz zwischen 1 und 3.
1 + x = 1 + 1 = 2
3 - x = 3 - 1 = 2 (kleine Probe)

Wir haben mit x = 2 die Stelle gefunden. Das ist fast nicht verwunderlich, denn ohne irgendwelche Ausnahmen wie Hauswände bei Drahtzäunen ist die Extremstelle meist in der Mitte oder eine regelmäßige Figur usw.

An der Stelle x = 2 ist
a = √5 L.E.
b = √8 L.E.


Ich hoffe, ich habe jetzt nicht wieder nach dem Hochscrollen irgendwelche Werte nicht richtig übernommen bzw. mich irgednwo verrechnet. Das Prinzip stimmt aber so. Außerdem hast du ja den größten Erkenntnisgewinn, wenn du nochmalnachrechnest und mit bei einem Lapsus erwischst. Das ist dann doch wenigstens ein schönes Erfolgserlebnis.

  • wenn du nochmal nachrechnest und mich bei einem Lapsus erwischst.

Da hatte ich beim Tippen wieder zu breite Finger. :-)

Übrigens:
f '' (x) = 4 > 0
Es ist also tatsächlich ein Minimum. Es wäre sonst ja auch sehr seltsam gewesen.

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a+b ist bei dir dann etwa

5.06

meine (richtige) lösung sagt aber:

3.60

zufälligerweise ist der genaue wert wurzel(13).

dein wert ist summe aus den werte wurzel(5) und wurzel(8)

du siehst das problem...:

die behauptung "Wenn (a + b) minimal sein soll, muss auch (a² + b²) minimal sein" wäre zu zeigen. bzw. ist offenbar sogar falsch.

0
@isbowhten

so wie es von dir genannt wurde auf jeden fall falsch, falls a,b beliebige reelle zahlen sind, weil a+b dann negativ werden kann, aber selbst wenn du dafür dann nebenbedingungen ansetzt, so bedenke, dass in wirklichkeit nicht a,b, da steht, sondern ein a(x),b(x) und es deshalb auch eine abhängigkeit von a und b untereinander gibt !!

spätestens hier geht es schief.

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ist doch kein problem.

du kannst ja die längen der straßen ausrechnen. dann kannst du auch die summe der längen ausrechnen. dann kannst du auch den ausdruck für die summe der längen minimieren.

dein problem wird vmtl. sein, dass du in wahrheit die längen garnicht ausrechnen kannst.

ALLERDINGS: dies ist eine sehr komplizierte methode dies zu lösen. diese funktioniert quasi immer, ist hier aber äußerst aufwändig. weiter unten die einfachere lösung.

beispiel:

wir sind beim y=0, x=1. du rechnest leicht nach: der abstand davon zu A hat länge 1.

das problem: du musst das auch für beliebige x ausrechnen können, statt für konkrete zahlenwerte.

also nun ist y=0, x=beliebig.

du nimmst nun einfach dieselbe formel für die abstände (satz des pythagoras bietet sich an), wie für konkrete zahlen auch, aber statt einer zahl wie "1" setzt du die zahl "x" ein. das ist zwar eine unbekannte zahl, aber dennoch eine zahl. mit der kannst du auch rechnen.

was ist denn der abstand zwischen (x,0) und A bzw. (x,0) und B?

abstand zu A:

wurzel( |x-1|^2+|0-1|^2 )

abstand zu B:

wurzel( |x-3|^2+|0-2|^2 )

du fragst dich jetzt vielleicht warum da beträge sind. man weiß ja nicht, ob x grad größer oder kleiner als die x-koordinate von A bzw. B ist. man will aber keine negativen streckenlängen für die gegenkathete und die ankathete haben.

letztlich ist das aber eh wieder egal, weil beim quadrieren das vorzeichen eh verschwindet. irgendwas^2 ist nie negativ.

also abstand zu A:

wurzel ( x^2-2x+2 )

abstand zu B:

wurzel ( x^2-6x +13 )

Jetzt hoffe ich, dass du bereits ableiten kannst, sonst muss man sich paar tricks einfallen lassen. sich "tricks" einfallen zu lassen ist ohne sich zu vergewissern dass diese auch stimmen, keine gute idee. daher nehm ich mal an, dass du extrema bestimmen kannst durch suche der nullstellen der 1ten ableitung.

wenn man dies tut musst du zwangsläufig mal nullstellen eines polynoms 4ten grades suchen (oder eine wurzelgleichung lösen).

da wir das nicht machen wollen, hier die einfachere methode.

hier wird gleich von anfang an ein trick verwendet: dieser ist auch sicher richtig!

der abstand von (x,0) zu B ist genauso groß wie der abstand von (x,0) zum spiegelpunkt von B, wobei an der x-achse gespielgelt wird. also (3,-2).

jetzt wirst du sehen, dass die verbindungsstrecken zwischen A, (x,0) und B genau dann optimal sind, wenn sie zusammen knickfrei sind. nach dem motto "diagonal gehen ist kürzer als um die ecke".

du musst also das x finden, sodass die verbindung von A zum spiegelpunkt zu B durch (x,0) geht.

dazu kannst du z.B.: eine allgemeine lineare funktion f(x)=mx+t aufstellen und mit den 2 gegebenen punkten (A und spiegelpunkt von B) ein gleichungssystem aufstellen, sodass du m und t bestimmen kannst. dann die nullstelle der erhaltenen linearen gleichung ausrechnen.

die richtig lösung lautet: x=5/3 wenn ich mich nicht verrechnet habe

Nimm doch ganz allgemein an, dass sich die Gabelung auf dem Punkt (x|0) befindet. Dann kannst du die Gesamtstrecke in Abhängigkeit von x ausrechnen und dann minimieren.

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