Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe in Mathe Grenzwert ?

Hier die Aufgabe  - (Mathe, Mathematik, Grenzwert)

3 Antworten

Hallo,

ein alter Trick:

ln (1+8/n)^n=

n*ln (1+8/n) (erweitern mit (8/n)/(8/n):

[(8/n)*n*ln (1+8/n)]/(8/n)=[8*ln (1+8/n)]/(8/n)

Wenn Du jetzt den Limes für n gegen unendlich suchst, kannst Du die Regel nach l'Hospital anwenden, denn sowohl Zähler wie auch Nenner gehen für n gegen unendlich gegen Null:

Du bildest die Ableitungen von Zähler und Nenner un bestimmst deren Grenzwert:

[8*(-8/n²)*1/(1+8/n)]/(-8/n²)

-8/n² kannst Du kürzen.

So bleibt:

8/(1+8/n)

Da 1+8/n für n gegen unendlich gegen 1 geht, geht 8/(1+8/n) dann gegen 8.

Auf ähnliche Weise wird e als Grenzwert von (1+1/n)^n bestimmt.

Herzliche Grüße,

Willy

Wie nennt man diesen Trick unter was finde ich den im Internet

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@larissalaris

Eigentlich kein Trick, sondern angewandte Potenz- und andere Rechenregeln. Zum einen ist es wichtig, das n aus der Potenz zu holen, was deshalb geht, weil ln(a^n) dasselbe ist wie n*ln(a).

Das kann man in jeder Formelsammlung unter Logarithmen- und Potenzgesetzen finden.

Der eigentliche Trick besteht in der Erweiterung mit (1/8)/(1/8) als Vorbereitung dafür, die Regel nach l'Hospital anzuwenden.

Wenn Du nun die Ableitungen von Zähler und Nenner bildest, verschwindet einerseits der natürliche Logarithmus, andererseits bleibt ein Bruchterm zurück, für den sich problemlos ein Grenzwert bestimmen läßt.

Das ist im Grunde das gleiche Verfahren, mit dem der Limes für n gegen unendlich der Folge (1+1/n)^n bestimmt wird.

Hier kommt noch ein weiterer Kunstgriff am Anfang hinzu, der die Tatsache ausnutzt, daß sich die Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus gegenseitig aufheben. 

Und das solltest Du Dir wirklich merken, weil dies bei Beweisverfahren oder bei Grenzwertbestimmungen häufig vorkommt:

x=e^(ln(x))

Du schreibst also anstatt (1+1/n)^n e^(ln(1+1/n)^n)), was dasselbe ist, Dir aber nun erlaubt, das n aus der Potenz zu bekommen:

e^(n*ln(1+1/n)),

dann die Grenzwertbetrachtung auf den Exponenten zu beschränken, weil e eine Konstante ist und von n unabhängig:

lim (n gegen unendlich) n*ln(1+1/n)

Nun kommt wieder die Erweiterung mit (1/n)/(1/n), so daß im Zähler der Faktor n verschwindet, denn n*1/n=1:

(ln(1+1/n))/(1/n)

Da nun die Grenzwerte für n gegen unendlich sowohl im Zähler als auch im Nenner gegen Null gehen, darfst Du die Regel von l'Hospital anwenden, die in einem solchen Fall besagt, daß der Grenzwert dieses Bruchs gleich dem Grenzwert des Bruchs ist, der entsteht, wenn Du von Zähler und Nenner die Ableitungen bildest:

[-(1/n²)*1/(1+1/n)]/-(1/n²)

Nun kürzen sich die Terme -1/n² im Zähler und im Nenner weg, und es bleibt 1/(1+1/n) übrig, was für n gegen unendlich gegen 1 geht.

Da dies der Grenzwert des Exponenten von e war und e^1=e, ist somit bewiesen, daß (1+1/n)^n für n gegen unendlich gegen e geht.

Das meinte ich mit dem alten Trick. Die Ähnlichkeit mit Deiner Aufgabe war kaum zu übersehen.

Willy

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Regel:

lim k---> unendlich (1+1/k)^k=e^k, demnach

ln * lim n --> unendlich (1+8/n)^n=ln(e^8)=8

Kommt da nicht eher 1 raus?

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@SebRmR

Bemerke gerade, dass ich mich beim oberen Grenzwert vertan habe ;

lim k ---> unendlich (1+k/x)^k=e^k


Meintest du das?

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@MeRoXas

Nochmal ne Änderung, aller guten Dinge sind bekanntlich drei:

lim x ---> unendlich (1+k/x)^x=e^k

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Bin nich der beste in mathe aber es gibt ne app die heißt photo math du scannst die formel mit deiner außenkamera ab und die lösung kommt mit den einzelnen schritten raus

Wozu braucht man noch Grips, wenn es für alles eine App gibt?

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