Holy shit - wie berechnet man einen Funktionstern, wo das Schaubild Asymptoten mit den Gleichungen..

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2 Antworten

also x=2 ist die senkrechte Asymptote und diese kann man am Term ganz leicht herausfinden. Zum Beispiel (hab leider keinen Bruchstrich, hier ist er ein : )
4 : x-2 Dann hättest du schon mal diese Gerade eingebaut. Die waagrechte Asymptote berechnet man, indem man die Anzahl der oberen x durch die Anzahl der unteren x teilt, in deinem Fall muss dies eins ergeben also folgendes: 2x : 2x-4

Das wäre einer von unendlich vielen Funktionstermen zu deinen Asymptotengleichungen :)

Lilalupp 29.06.2014, 15:17

vielen dank :D

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Bei gebrochen rationalen Funtkionen ist eine senkrechte Asymptote x = a immer eine Nullstelle der Nennerfunktion. Eine gebrochen rationale Funktion mit der senrkechten Asymptome x = 2 hat die Form

f(x) = z(x) / ( (x-2) * n(x) ),

wobei z(x) und n(x) irgend ein beliebiges Polynom ist und z(x) nicht die Nullstelle 2 hat. So kannst du eine solche Funktion basteln. - Beonders einfaches Beispiel:

f(x) = 1 / (x -2),

also z(x) = n(x) = 1.

. . .

Wenn du auf senkrechte Asymptoten untersuchen sollst, bestimmst du die Nullstellen des Nenners und prüfst, ob diese auch Nullstellen des Zählers sind oder nicht.


Eine gebrochen rationale Funktion f hat eine waagrechte Asymptote y = 0, wenn der Grad der Zählerfunktion kleiner ist als der Grad der Nennerfunktion.

Wenn du eine Funktion basteln sollst, die die waagrechte Asymptote y = b hat, nimmst du so eine Funktion f und zählst einfach b dazu (und bringst "netterweise" das alles auf einen Nenner).

. . .

Wenn du auf waagrechte Asymptoten untersuchen sollst, beachtest du: Eine gebrochen rationale Funktion hat genau dann eine waagrechte Asymptote y ≠ 0, wenn Zählerfunktion und Nennerfunktion den gleichen Grad haben. Dann kürzt du Zähler- und Nennerdivision summandenweise durch die Potenz mit höchstem Exponenten . In Zähler und Nenner entstehen dadurch lauter Summandenfunktionen, die alle bis auf die feste Zahl die waagrechte Asymptote y = 0 haben. Deswegen ist der entstehende Bruch der festen Zahlen die waagrechte Asymptote der Funktion insgesamt.


BEISPIELE:

f(x) = 1 / (x-2)

und (mit willkürlich gewählten Funktionen z(x) = 2x +5, n(x) = x +1)

g(x) = (2x +5) / ( (x-2)(x+1) ) = (2x +5) / (x² -x -2)

  • haben beide eine senkrechte Asymptote x = 2 (warum?) und
  • beide die waagrechte Asymptote y = 0 (warum? welchen Grad hat bei f und g die Zählerfunktion, welchen die Nennerfunktion?);
  • g(x) hat noch eine andere senkrechte Asymptote (welche, und warum?)

. . .

Warum hat

h(x) = (x² -1) / (x² -x -2)

im Gegensatz zu g(x) nur eine senkrechte Asymptote? (... siehe oben; auf das Wort "und" kommt es an.)

. . .

f(x) = 1 / (x-2) +1 = (x -1) / (x -2) und

g(x) = (2x +5) / ( (x-2)(x+1) ) +1 = (x² +x +3) / (x² -x -2)

haben beide eine senkrechte Asymptote x = 2 und beide die waagrechte Asymptote y = 1, wie gefordert.

. . .

k(x) = (0,1x³ + 15x - 7) / (0,02x³ - 18x² +3,4x)

ergibt summandenweise gekürzt mit x³:

(0,1 + 15/x² - 7/x³) / ( 0,02 + 18/x + 3,4/x²);

die waagrechte Asymptote ist

y = 0,1 / 0,02 = 5; warum?

. . .

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