Hoch und Tiefpunkte berechnen und wo einsetzen?

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4 Antworten

Hi,

der Anfang ist richtig. Du berechnest die erste Ableitung der Funktion und von der Ableitung dann die Nullstellen.

Wenn man Nullstellen gefunden hat, dann weiß man, dass an diesen Werten Hoch- oder Tiefpunkte sein können (aber nicht müssen).

Danach berechnest du die zweite Ableitung, also f"(x) und setzt die x-Werte der gefundenen Nullstellen der ersten Ableigung in die zweite Ableitung ein.

Also angenommen, x1 und x2 wären Nullstellen von f'(x), also es gilt f'(x1) = 0  und f'(x2) = 0.

Dann berechnest du f"(x1) und f"(x2).

Wenn f"(x1) kleiner Null ist, dann ist bei x1 eine Hochstelle (Maximum), und wenn f"(x1) größer Null ist, dann ist an der Stelle ein Tiefpunkt (Minimum).

Um die Koordinaten des Hoch- oder Tiefpunktes zu berechnen, musst du noch seinen y-Wert berechnen, also f(x1) und f(x2).

Die Extrempunkte haben die Koordinaten  (x1; f(x1))  und (x2; f(x2)).

Gruß

Kannst du dir raussuchen, solange dir klar ist, was du treibst.

  • Setze zwei Stelle (eine etwas kleiner, eine etwas größer) in f' ein und guck, ob das Vorzeichen der Ableitung in x von - auf + wechselt (dementsprechend Tiefpunkt) oder umgekehrt (Hochpunkt). Falls das Vorzeichen sich gar nicht ändert, liegt ein Sattelpunkt vor.
  • Alternativ kannst du auch die Funktionswerte betrachten und schauen, ob die Funktion an den beiden Näherungsstellen jeweils knapp über dem Funktionswert der Stelle x selbst ist (Tiefpunkte) oder beide knapp drunter liegen (Hochpunkt) oder keins von beiden (Sattelpunkt).

Die erste Variante ist wohl die häufiger angewandte. Du könntest auch noch die zweite Ableitung berechnen und über die Krümmung argumentieren, welche Art von Punkte vorliegt.

x ist eine Nullstelle von f --> f(x)=0
x ist Hochpunkt von f --> f'(x)=0 und f''(x)<0
x ist Tiefpunkt von f --> f'(x)=0 und f''(x)>0

x musst du immer in f(x) einsetzten um y zu erhalten.

Sie müssen sie in die 2. Ableitung einsetzten. f''(x). Ist das Ergebnis positiv ist es ein Tiefpunkt, da die Krümmung positiv ist. Ist sie Negativ ist es ein Hochpunkt.

Merke:

Grundfunktion: Y-Koordinate,

1. Ableitung: Steigung,

2. Ableitung: Krümmung.

Du kannst also auch die beiden Punkte in die Grundfunktion einsetzten und gucken welche Y-Koordinate größer ist. Das darf ich in der 11 aber nicht mehr :)

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