Hoch-/Tiefpunkte bei e-Funktionen brechnen

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6 Antworten

Hallo !

Deine Funktion lautet -->

f(x) = x + e ^ (-x)

Die 1-te Ableitung deiner Funktion lautet -->

f´(x) = 1 - e ^ (-x)

Die 2-te Ableitung deiner Funktion lautet -->

f´´(x) = e ^ (-x)

Nun setzt du die 1-te Ableitung deiner Funktion gleich Null -->

1 - e ^ (-x) = 0

Nun rechnest du die Nullstellen der Funktion aus -->

1 = e ^ (-x)

ln (1) = -x

x = -ln(1)

x = 0

Nun weist du bereits, das deine Funktion einen Extremwert an der Stelle x = 0 hat, aber um was für einen Extremwert es sich handelt, ob es sich um einen Tiefpunkt (Minimum) oder um einen Hochpunkt(Maximum) handelt, kannst du damit allein noch nicht beantworten.

Um das zu beantworten, musst du die Werte für die Nullstellen der 1-ten Ableitung deiner Funktion in die 2-te Ableitung einsetzen -->

x = 0 -->

f´´(0) = e ^ (-0) = 1

Ist der Wert von f´´ an einer Nullstelle von f´ kleiner als Null, dann handelt es sich an dieser Stelle um ein Maximum.

Ist der Wert von f´´ an einer Nullstelle von f´ größer als Null, dann handelt es sich an dieser Stelle um ein Minimum.

Ist der Wert f´´ an einer Nullstelle von f´ exakt gleich Null, dann handelt es sich nicht um ein Minimum und auch nicht um ein Maximum, sondern um einen sogenannten Sattelpunkt.

Da bei deiner Funktion f´´(0) = 1 ist und 1 > 0 ist, handelt es sich also um ein Minimum.

Deine Funktion hat also ein Minimum an der Stelle x = 0. .

Da laut Aufgabenstellung nicht unterschieden werden soll, ob die Stelle(n) mit waagrechter Tangente Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt sind, ist ausreichend, die Nulltelle(n) der Ableitung zu bestimmen (siehe Rapzoooor).

f'(x) = 1 - e^(-x) = 0 lässt isch weiter umformen:

1 = e^(-x) ; | ln

0 = ln(1) = -x,

Also ist (0 | f(0) ) = (0 | 1) der einzige Punkt der Funktion mit horizontaler Tangente.

Wenn die Tangente waagerecht ist, dann ist die Steigung der Tangenten gleich 0.

Insbesondere ist die erste Ableitung der Funktion an dieser Stelle dann auch gleich 0.

D.h. du setzt f '(x) = 0, also 1 - e^(-x) = 0 und löst es nach x auf... Wie habt ihr denn bisher sonst die Extrema ermittelt? Immer nur mithilfe des Graphen?

Woher weiß ich das, wenn ich keine grafische Darstellung habe?

Sollte euch euer Lehrer das tatsächlich verschwiegen haben? Ich kann´s eigentlich nicht glauben.

Atlanticwave 10.03.2014, 09:36

hat er wirklich, wir haben das nur an ganzrationalen Funktionen mit dem TR geübt, und ich kann das nicth auf e-Funktionen übertragen. Wenn du mir das nur an diesem Beispiel zeigen könntest, würde ich das bestimmt verstehen.

0

Ableitung gleich 0 setzen und nach x auflösen

Du hast bestimmt die funktion falsch abgeschrieben.

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