Hoch oder tiefpunkt?

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6 Antworten

Das ist ja grad das Wichtige bei einem hinreichenden Kriterium: WENN es erfüllt ist, hast Du hinreichend genügend Argumente in der Hand, die für eine bestimmte Eigenschaft sprechen. Und wenn ein hinreichendes Kriterium nicht erfüllt ist, hast Du eben nicht genügend inder Hand, damit eine bestimmte Eigenschaft nachgewiesen ist.

Dann musst Du einen anderen Weg einschlagen.

In diesem Fall untersuche doch das Steigungsverhalten Deiner Funktion (dicht) links und rechts von der betrachteten Stelle (x = -2). Also: zwei Werte knapp unter und über -2 in die erste Ableitung einsetzen. Dann dürftest Du auf das richtige Ergebnis kommen.

[Das ist das Vorzeichenwechselkriterium, von dem goali356 gesprochen hat.]

Und falls das Steigungsverhalten an beiden Seiten identisch ist, hast Du einen sog. Sattelpunkt gefunden; z.B. hat f(x) = x³ in (0|0) einen Sattelpunkt (lass Dir das mal zeichnen).

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Kommentar von shellyleinchen
19.08.2016, 21:24

Ich hab zwei unterschiedliche Ergebnisse rauskommen. an der stelle sieht die Funktion trotzdem ähnlich aus wie bei dem Sattelpunkt den du mit von der f(x)=x^3 gesagt hast

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Bedingung "Maximum" f´(x)=0 und f´´(x)< 0

Bedingung "Minimum" f´(x)= 0 und f´´(x)> 0

Bedingung "Wendepunkt" f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null 

Bedingung "Sattelpunkt" f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null ausserdem noch

f´(xs)= 0

siehe Mathe-Formelbuch Kapitel "Funktionen"

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f(x) sei die Funktion und x=x0 die zu untersuchende Stelle:

f'(x0)=0 & f''(x0) > 0 -> x0 ist eine lokale Maximalstelle
f'(x0)=0 & f''(x0) < 0 -> lokales Maximum
f'(x0)=0 & f''(x0) = 0 & f'''(x0)=/=0 -> Wendepunkt

Diese Beziehungen kannst du dir auch selbst "herleiten", wenn du z.B. den Graphen der Funktion f(x)=x^3 (im Punkt x=0 ein Wendepunkt) und deren 1. und 2. Ableitung aufzeichnest: Die 1. Ableitung hat im Punkt x=0 den Wert 0, also f'(0)=0, die 2. auch, die 3. nicht mehr.

Allgemein für f'(x0)=0 gilt:
- ist der Grad der ersten Ableitung =/= 0 ungerade, ist x0 ein Wendepunkt (also z.B. mit f'(x)=0, f''(x)=0, f'''(x)=/=0 -> Grad der ersten Ableitung =/= 0 ist 3, also ungerade)
- ist er gerade, ist x0 ein Extrema (Hoch- oder Tiefpunkt)

Oder du machst es so, wie es schon erklärt wurde: Das Steigungsverhalten dicht links und rechts von x0 untersuchen.

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Kommentar von shellyleinchen
19.08.2016, 22:53

Also muss ich meine -2 in die 3. Ableitung einsetzten? da kommt dann -4 raus und weil das eine gerade Zahl ist ist es ein hochpunkt wenn ich das jetzt richtig verstanden habe :-D Dankeschön das hat mit sehr geholfen!

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Kommentar von Australia23
19.08.2016, 23:11

Da ist mir noch ein doofer Fehler unterlaufen:

f'(x0)=0 & f''(x0) > 0 -> x0 ist eine lokale Maximalstelle
f'(x0)=0 & f''(x0) < 0 -> lokales Maximum

Es solte heissen:

f'(x0)=0 & f''(x0) > 0 -> x0 ist eine lokale Minimalstelle/Tiefpunkt
f'(x0)=0 & f''(x0) < 0 -> lokales Maximum

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Kommentar von shellyleinchen
19.08.2016, 23:15

ah gut ich glaube jetzt hab ich es verstanden 😄 Dankeschön :-)

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Kommentar von shellyleinchen
19.08.2016, 23:18

Achso eine frage noch: wenn das eine "ungerade Ableitung" ist bei der als erstes ungleich 0 raus kommt ist es ja keine extremstelle und du hast eben gesagt das es sich hier dann um einen Wendepunkt handelt -> ist das immer so? also bei ungerader Ableitung immer eine wendestelle?

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Kommentar von shellyleinchen
20.08.2016, 14:00

Danke du hast mir wirklich sehr weiter geholfen! :-)

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Du könntest das Vorzeichen Wechsel Kriterium anwenden. Hiermit kannt du herausfinden ob es überhaupt ein Extremum ist.

Es kann auch sein, dass es sich um eine Wendestelle handelt. Dies
könntest du mit der dritten Ableitung herausfinden. In den meisten fällen
handelt es sich dann um eine Wendestelle.

Man nennt es dann auch Scheitelpunkt oder Sattelpunkt.

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Kommentar von shellyleinchen
19.08.2016, 21:09

die rechne ich gleich auch noch aus dann werde ich es ja sehen 😄 danke :-)

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Wie heißt denn die Funktion?

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Kommentar von shellyleinchen
19.08.2016, 21:59

1/4x^4 + 4/3x^3 +2x^2

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Kommentar von shellyleinchen
19.08.2016, 23:11

Achso ich hab das eben so verstanden das es auf die -4 ankommt und nicht darauf die wievielte Ableitung das ist, weil sonst wäre es ja ein hochpunkt gewesen.. ok Dankeschön :-)

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Kommentar von lks72
20.08.2016, 10:36

Wäre die zweite oder vierte oder 6. Ableitung erstmals ungleich 0 , dann wäre es ein Extrempunkt.

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Sattelpunkt

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Kommentar von shellyleinchen
19.08.2016, 21:04

sicher? wir haben nämlich einen zettel bekommen auf dem Alles drauf steht ihr das steht da nicht drauf 😅

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Kommentar von shellyleinchen
19.08.2016, 21:08

sieht auf der Zeichnung auch so aus :-D ok Danke wird schon richtig sein :-)

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