Hinreichende Kriterien für Polynome

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4 Antworten

Die Bedingung mit den Nullstellen ist im Allgemeinen denke ich nicht hinreichend. Wüsste nicht warum, es ist sicher möglich eine Funktion zu konstruieren, die n Nullstellen hat und kein Polynom ist.

Ich denke, du solltest versuchen zu zeigen, dass man die Angabe auf die allgemeine Polynomform bringen kann und versuchen die Koeffizienten zu bestimmen.

Ich denke, dass in der Aufgabe 5 in >http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~stock/uebung/numerik/tutorium2.pdf etwas anderes gefordert ist: Hier geht es (trotz des Grammatikfehlers, die Verben müssten wegen "functions" im Plural stehen) nicht darum, eine einzelne Funktion als Polynom zu identfizieren, sondern eine ganze Schar, der Elemente sich paarweise durch den Wert von n unterscheiden.

Die Funktion L_ n (x) der Schar ist vermutlich ein Polynom n-ter Ordnung ; der Beweis geht wahrscheinlich mit vollständiger Induktion.

Der Beweis geht ohne vollständige Induktion:

Behauptung: Die Funktion L_ n (x) der Schar ist ein Polynome n-ter Ordnung:

e^x / n! * d^n / dx^n x^n * e^(-x) =

Mit der Potenzierung der Produktregel wie in >http://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel#H.C3.B6here_Ableitungen , wobei k = 0,...,n

e^x / n! * (summe) (n über k ) d^k / dx^k x^n * d^(n-k) / dx^(n-k) e^(-x) =

e^x / n! * (summe) (n über k ) d^k / dx^k x^n * (-1)^(n-k) e^(-x) =

1 / n! * (summe) (n über k ) d^k / dx^k x^n * (-1)^(n-k) =

1 / n! * (summe) (n über k ) n! x^(n-k) )/(n-k)! * (-1)^(n-k) =

(summe) (-x)^(n-k) * n!/( (n-k)!² k!) =

n-k -> k, wobei k = n,...,0

(summe) (-x)^k * n!/( k!² (n-k)!)

dies ist ein Polynom n-ter Ordnung, q.e.d.

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Danke euch allen! Das mit der Schar ist so zu verstehen, ja. Ich hab mich mit meinen Komilitonen kurzgeschlossen und wir sind zu dem Ergebnis gekommen, dass man das wohl über Abschlusseigenschaften des Polynomrings zeigt, also erstmal zerlegen und dann damit argumentieren, dass Summe und Produkt von Polynomen wieder Polynome sind etc.

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