Hilfe wie soll die Bestimmung ganzrationaler Funktionen gehen?

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2 Antworten

die Funktion soll einen Extrempunkt haben, daher muss sie mindestens 2. Grades sein (eine Funktion 1. Grades ist eine Gerade, und die hat keinen Hoch-/Tiefpunkt), also f(x)=ax²+bx+c

durch die gegebenen Angaben kannst du 4 Gleichungen aufstellen:

(I) Punkt A(0|4) => f(0)=4
(II) Extrempunkt bei A => f'(0)=0
(III) Schnitt mit x-Achse bei x=2 (Nullstelle) => f(2)=0
(IV) Punkt B(1|3) => f(1)=3

Durch (I) und (II) kannst Du direkt c und b ermitteln. Setze jetzt Punkt B ein und Du kannst das noch fehlende a ermitteln...

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Rosita710 17.04.2016, 17:43

Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen :)

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Rosita710 17.04.2016, 18:09

Stimmt es dann, das c=4, b=0 und a= 1,5 ist?

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Rhenane 17.04.2016, 18:12
@Rosita710

nicht ganz; a=-1, denn: B(1|3) einsetzen: 3=a(*1²)+4 |-4 => a=-1

(a muß negativ sein, da bei y=+4 ein Extrempunkt ist, und die Funktion Nullstellen hat, d. h. sie muß nach unten offen sein, und das ist nur bei a<0 der Fall)

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Rosita710 17.04.2016, 18:23
@Rosita710

Ich habe den Punkt in f´ eingesetzt, deshalb hatte ich ein anderes Ergebnis

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Rhenane 17.04.2016, 18:27
@Rosita710

ja, die Vermutung hatte ich auch, aber da konnte ich meinen Kommentar nicht mehr editieren, um Dich auf die mögliche Fehlerquelle hinzuweisen :)

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Rosita710 17.04.2016, 18:29
@Rhenane

Kein Problem habe ich ja selbst bemerkt ;) Und nochmal vielen Dank

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1. Schritt : zeichne die 3 Punkte in ein x-y-Koordinatensystem ein,dann siehst du,wenn du die Punkte verbindest,dass diese ein nach unten offene Parabel ergeben

A(0/4) ist der Scheitelpunkt auf der y-Achse

x=2 y=0 ist eine Nullstelle und B(1/3) ist ein gewöhnlicher Punkt

Form der Parabel y=f(x)=a * x^2 + c hier ist C= 4 eingesetzt

y=a *x^2+C nun ist auch x=1 und y=3 bekannt eingesetzt

3=a *1^2+4  ergibt a= -4+3) /1^2)= - 1 also ist die Formel y=f(x)=- 1 *x^2 +4

2. Möglichkeit 

Für jede Unbekannte braucht man eine Formel,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar !!

Wir haben 3 Punkte und somit auch 3 Formeln,die dieses lineare Gleichungssystem ergeben. Parabel y=f(x)= a2 *x^2+a1 *x+ao

1.0 *a2 + 0 *a1 + 1 *ao=4

2. 1 *a2 +1 *a1 +1 *ao=3

3. 4 * a2 +2 *a1 +1 *ao=0

Lösung dieses Gleichungssystems ist a2=- 1 und a1=0 und a0=4

eingesetzt ergibt sich y=f(x)=- x^2 +0 *x + 4= - 1 * x^2 +4

Wenn man die Punkte mit einer Funktion 3.Grades verbinden will,dann geht man genau so vor

y=f(x)=a3 *x^3 +a2 *x^2 +a1 *x +ao weil man nur 3 Punkte hat,setzt man ao=0

ergibt y=f(x)= a3 *x^3 +a2 *x^2 +a1 *x mit den 3 Punkten (x-Werte) können dann die 3 Unbekannten , a3,a2 und a1 errechnet werden 

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