Hilfe mit einer Mathematik Aufgabe?

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4 Antworten

Hallo,

das Prinzip ist folgendes:

Du weist nach, daß die Behauptung für n=1 stimmt, daß also 5^(2n)-2^n durch 23 teilbar ist. 5^(2*1)-2^1=25-2=23.

Für n=1 stimmt die Behauptung also.

Nun bildest Du das nächste Glied in der Kette, das entsteht, wenn Du anstatt n den Term n+1 in die Formel einsetzt:

5^(2*(n+1))-2^(n+1)

Das kannst Du umformulieren:

5^(2n+2)-2^(n+1)=25*5^(2n)-2*2^n

Nun kommt der Trick: Du weißt, daß 5^(2n)-2^n durch 23 teilbar ist, weil dies die Behauptung ist und Du es für den Fall n=1 nachgewiesen hast.

Wenn das so ist, dann ist natürlich auch ein Vielfaches von 5^(2n)-2^n durch 23 teilbar, etwa 2*(5^(2n)-2^n)=2*5^(2n)-2*2^n

Wenn - wie nachzuweisen ist, 25*5^(2n)-2*2^n durch 23 teilbar ist, dann muß auch ein Term durch 23 teilbar sein, der entsteht, wenn ich von
25*5^(2n)-2*2^n den Ausdruck 2*5^(2n)-2*2^n abziehe.

20a  zum Beispiel ist - wenn a eine natürliche Zahl ist - durch 5 teilbar.

Ziehe ich davon ein kleineres Vielfaches von a ab, das ebenfalls durch 5 teilbar ist, etwa 10a, bleibt auf jeden Fall ein Ergebnis übrig, das ebenfalls durch 5 teilbar ist, denn 20a-10a=5*4a-5*2a=5*(4a-2a) und das ist zweifelsohne durch 5 teilbar, weil ich den Faktor 5 ausklammern konnte.

Ebenso verhält es sich hier:

25*5^(2n)-2*2^n-(2*5^(2n)-2*2^n)=25*5^(2n)-2*2^n-2*5^(2n)+2*2^n

-2*2^n+2*2^n heben sich auf und es bleibt 25*5^(2n)-2*5^(2n) übrig.

Wenn ich nun 5^(2n) ausklammere, bekomme ich 5^(2n)*(25-2)=23*5^(2n), was selbstverständlich durch 23 teilbar ist.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von kreisfoermig
16.10.2016, 00:30

Es geht einfacher, wenn man zuerst den Term umformt: 5²ⁿ – 2ⁿ = 25ⁿ – 2ⁿ. Dann gilt im Induktionsschritt:

25ⁿ⁺¹ – 2ⁿ⁺¹ =     25·25ⁿ – 2·2ⁿ
= (23+2)·25ⁿ – 2·2ⁿ
= 23·25ⁿ + 2·(25ⁿ–2ⁿ)
↑ ↑
durch 23 durch 23 teilbar
teilbar per I.V.

Darum ist der n+1. Term, 25ⁿ⁺¹ – 2ⁿ⁺¹, durch 23 teilbar.

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[Willy1729] hat dir schon mit einem Beweis per Induktion geholfen. Hier des Interesses halber ein direkter Beweis.

Behauptung. 23 | 5²ⁿ – 2ⁿ für alle n∈ℕ.

Beweis. Sei ∈ ℕ. Man berechne modulo 23:

5²ⁿ – 2ⁿ = 25ⁿ – 2ⁿ
≣ 2ⁿ – 2ⁿ da 25 ≣ 2 mod 23
= 0

daher 5²ⁿ – 2ⁿ ≣ 0 mod 23. Das heißt, 23 | 5²ⁿ – 2ⁿ. QED.


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Dir wurde ja schon ausreichend geholfen. Dir sollte demnächst bei bei Sätzen wie: "Zeigen Sie, dass für alle n aus IN, gilt..." oder bei ähnlichen sofort die vollständige Induktion in den Sinn kommen. Wenn die nämlich wahr sind, kann man die leicht durch Induktion beweisen. Schön an dieser Beweismethode ist ja, das man oft weiß wo man hin will.


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Kommentar von Naydoult
16.10.2016, 00:11

Erstmal Frage durchlesen. xD Naja, damit ist wohl der Inhalt der Antwort hinfällig, ups. ^^

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IA) Sei n = 1 so folgt:

5^(2) - 2^1 = 23   mit  23/23 = 1  Element aus IN.

IV) ...

IS) n --> n+1

A(n + 1) = 5^(2(n + 1)) - 2(n + 1) = 5^2*(5^n)^2 - 2*2^n

= 25*(5^n)^2 - 2*2^n - 23*2^n + 23*2^n = 25*(5^(2n) - 2^n) + 23*2^n

= 25*A(n) + 23*2^n

und da beide Summanden nach IV) durch 23 teilbar sind ist die Behauptung für alle n aus IN bewiesen.

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Kommentar von poseidon42
15.10.2016, 22:44

Also im Endeffekt ein Fall für die "kreative Null", du addierst einfach bei dem Induktionsschritt 23*2^n - 23*2^n .

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Kommentar von JChristofStinkt
15.10.2016, 22:45

Deine bisherigen Ausführungen haben mir sehr weiter geholfen, danke!

Trotzdem frage ich mich noch, was du mit "IV)" in der dritten Zeile und dem dahinter stehenden "..." meinst?

Willst du sagen, dass du die gleiche Berechnung wie bei "IA)" auch mit n=2, bis n=4 gemacht und dieses einfach nur nicht aufgeschrieben hast?

Danke

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