Hilfe In mathematik (Schwere Bruchrechnungen)

2 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Gehe schrittweise vor:

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1) Umwandeln der gemischten Brüche in unechte Brüche ... oje, kennst du diese Begriffe?

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OK, ich erklär's kurz:

a) Ein "echter Bruch" ist ein Bruch, dessen Zähler kleiner ist als sein Nenner, dessen Wert also kleiner als 1 ist.

(Beispiele: 1 / 2, 3 / 4, 27 / 53, ...)

b) Ein "unechter Bruch" hingegen ist ein Bruch dessen Zähler gleich oder größer als sein Nenner ist, dessen Wert also gleich oder größer als 1 ist.

(Beispiele: 4 / 3, 16 / 8, 7 / 7, ...)

c) Ein "gemischter Bruch" ist eine Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem "echten Bruch" besteht.

(Beispiele: 7 5/6, 1 3/4, ...)

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In deinen Aufgaben sind jede Menge gemischter Brüche enthalten. Mit diesen lässt sich nur umständlich rechnen, da man z.B. bei einer Addition zweier solcher Brüche die ganzen Zahlen und die Brüche, aus denen sie bestehen, getrennt voneinander addieren muss und dabei noch darauf achten muss, ob die Summe der Brüche größer als 1 wird und man deshalb einen entsprechenden Übertrag auf die Summe der ganzen Zahlen zu berücksichtigen hat.

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Einfacher wird es, wenn man zunächst einmal die gemischten Brüche in unechte Brüche umwandelt.

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Beispiel für eine solche Umwandlung:

3 5/7 = 3 + 5 / 7

= 3 * 1 + 5 / 7

= 3 * ( 7 / 7 ) + 5 / 7

= 21 / 7 + 5 / 7

= 26 / 7

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Im Anschluss auf die Umwandlung sollte man die erhaltenen Brüche soweit wie möglich kürzen, das erleichtert die weiteren Berechnungen.

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2) Um Brüche addieren und subtrahieren zu können, müssen sie denselben Nenner haben. Ist das der Fall, dann braucht man einfach nur die Zähler zu addieren (bzw. zu subtrahieren) und den Nenner beizubehalten.

Man muss also als zweiten Schritt die Brüche auf "denselben Nenner bringen". Das macht man durch Erweitern.

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Das Problem dabei ist die Antwort auf die Frage:

Welches IST der gemeinsame Nenner mehrerer gegebener Brüche?

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Antwort: Es ist eine Zahl, die sich durch alle beteiligten Nenner ganzzahlig dividieren lässt, die also ein Vielfaches eines jeden beteiligten Nenners ist.

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Am einfachsten lässt sich eine solche Zahl finden, indem man alle beteiligten Nenner miteinander multipliziert. Dadurch aber erhält man schnell eine sehr große Zahl als gemeinsamen Nenner, wodurch weitere Berechnungen dann wieder umständlicher werden.

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Schöner wäre es, wenn man die kleinste Zahl finden könnte, die ein Vielfaches aller beteiligten Nenner ist.

Diese Zahl wird kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) genannt.

(Die Bestimmung des kgV mehrerer gegebener Zahlen werde ich hier jetzt allerdings nicht darstellen. Oft, gerade bei Schulaufgaben am Anfang des Themas "Bruchrechnung" kann man diese Zahl auch durch "scharfes Hinsehen" erkennen.)

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Hast du ein gemeinsames Vielfaches der beteiligten Nenner ermittelt, dann musst du jeden beteiligten Bruch so erweitern, dass sein Nenner gleich diesem gemeinsamen Vielfachen ist.

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Ist das erledigt, kannst du alle diese Brüche addieren bzw. subtrahieren, indem du einfach nur die Zähler addierst und subtrahierst und den gemeinsamen Nenner beibehältst.

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Zum Schluss sollte man die Ergebnisse wieder weitestmöglich kürzen.

Als Beispiel rechne ich dir deine erste Aufgabe vor:

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8 1/10 - ( 5 3/4 - 3 3/5 ) * 7/8 + 9/32

Zuerst (Schritt 1) betrachten wir den Klammerinhalt, wandeln die gemischten Brüche in unechte Brüche um und kürzen sie soweit möglich.:

( 5 3/4 - 3 3/5 )

= 5 * 4/4 + 3/4 - ( 3 * 5/5 + 3/5 ) )

= 20/4 + 3/4 - ( 15/5 + 3/5 ) )

= 23/4 - 18/5

(Kürzen ist hier nicht möglich)

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Nun (Schritt 2) bestimmen wir den gemeinsamen Nenner:

Die beteiligten Nenner sind 4 und 5. Ein gemeinsames Vielfaches von 4 und 5 ist das Produkt dieser beiden Zahlen:

4 * 5 = 20

Dies ist gleichzeitig auch das kleinste gemeinsame Vielfache, denn keine kleinere Zahl als 20 lässt sich sowohl durch 4 als auch durch 5 teilen.

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In dem in Schritt 1 berechneten Ausdruck

23/4 - 18/5

musst du nun also die beiden Brüche so erweitern, dass beide den Nenner 20 haben.

Dazu musst du den ersten Bruch mit 5/5 multiplizieren und den zweiten mit 4/4.

Du erhältst:

23/4 - 18/5 = 23/4 * 5/5 - 18/5 * 4/4

= 23 * 5 / ( 4 * 5 ) - 18 * 4 / (5 * 4)

= 115/20 - 72/20

= (115 - 72) / 20

= 43/20

Dieser Bruch, der sich nicht weiter kürzen lässt, ist der Wert des Klammerinhaltes in deiner ersten Aufgabe.

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Man kann die Aufgabe also nun so schreiben:

8 1/10 - ( 5 3/4 - 3 3/5 ) * 7/8 + 9/32

= 8 1/10 - ( 43/20 ) * 7/8 + 9/32

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Als nächstes (Punktrechnung vor Strichrechnung!) rechnen wir das Produkt:

( 43/20 ) * 7/8

aus:

43/20 * 7/8

= ( 43 * 7 ) / ( 20 * 8 )

= 301/160

Leider lässt sich auch dieser Bruch nicht kürzen.

0
@JotEs

Die Berechnung der Aufgabe ist also nun soweit fortgeschritten:

8 1/10 - ( 5 3/4 - 3 3/5 ) * 7/8 + 9/32

= 8 1/10 - 301/160 + 9/32

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Nun muss man den gemischten Bruch 8 1/10 in einen unechten Bruch umwandeln. Wie das geht, habe ich ja weiter oben schon erläutert:

8 1/10 = 81/10

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Die Aufgabe sieht nun so aus:

8 1/10 - ( 5 3/4 - 3 3/5 ) * 7/8 + 9/32

= 81/10 - 301/160 + 9/32

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Um nun die Subtraktion und die Addition durchführen zu können, muss man die beteiligten Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Das "geübte Auge" sieht sofort, dass der kleinste gemeinsamer Nenner 160 ist, denn 160 lässt sich sowohl durch 10 als auch durch 160 als auch durch 32 ganzzahlig dividieren.

Durch entsprechendes Erweitern der Brüche erhält man daher aus der gestellten Aufgabe:

8 1/10 - ( 5 3/4 - 3 3/5 ) * 7/8 + 9/32

= 81/10 - 301/160 + 9/32

= 81/10 * 16/16 - 301/160 + 9/32 * 5/5

= 1296/160 - 301/160 + 45/160

= ( 1296 - 301 + 45 ) / 160

= 1040 / 160

Dies kann man nun noch (schrittweise) Kürzen:

= 520 / 80

= 260 / 40

= 130 / 20

= 13 / 2

.

Diesen unechten Bruch kann man nun noch in einen gemischten Bruch umwandeln:

13/2 = 12/2 + 1/2

= 6 + 1/2

= 6 1/2

.

Und das ist das Ergebnis der ersten Aufgabe.

0
@JotEs

ey du bist der wahnsinn...danke :))) DANKE DANKE DANKE !!!!!!!

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