hilfe ich verstehe das nicht in mathe?

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6 Antworten

Erst mal mit Lücken schreiben und diese dann ausfüllen:

f(x) = 2(x² + 2x +      ) -        + 16      | Zahl vor x halbieren und quadrieren
f(x) = 2(x² + 2x +   1²)   - 2   + 16      | Binom rückwärts
f(x) = 2 (x + 1)²           + 14

Scheitelpunkt S (-1| 14)

http://dieter-online.de.tl/Binomische-Regeln-r.ue.ckw.ae.rts.htm

Bei der Klammer musste 1² erst mit 2 multipliziert und dann kompensiert werden, damit die Gleichung nicht verändert würde.
Die Scheitelpunktgleichung stimmt. (Probe wurde gemacht).

Der ganze Vorgang nennt sich: quadratische Ergänzung.
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bei der Lösung die ich von meinen Lehrer bekommen habe kommt "2(x+2)^2+8 raus. Ich hab zwar die Lösung aber ich verstehe nicht wie man vorgeht

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y=2x^2+4x+16
y=2(x^2+2x)+16
y=2(x^2+2x+1)-2+16
y=2(x^2+1)+14

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Ziel ist die Umwandlung von der allgemeinen Form y=ax^2+bx+c in die Scheitelpunktform: y = a(x+d)^2+e.

Dein Beispiel: y = 2x^2+4x+16.

1. Schritt: x^2 muss alleine dastehen - also musst du die 2 ausklammern:

(1)     y = 2(x^2+2x+8)

2. Schritt: Quadratische Ergänzung - im Prinzip heißt dass, dass du die Binomischen Formeln "rückwärts" anwenden musst. Zur Erinnerung die Binomische Formel lautet:

(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2

Wenn du dir den Ausdruck in der Klammer anschaust (Gleichung (1) ) dann hast du so was dastehen wie

(2)             x^2+2x+8

Das sieht wie die Binomische Formel auf der rechten Seite aus - daraus machst du jetzt den Klammer Ausdruck. Die Variable a aus der Binomischen Formel hast du schon gegeben: Die ist deine x-Variable.

Das heißt du musst dich nur noch um die Variable b der binomischen Formel kümmern. Dazu schaust du dir folgenden Teil der Gleichung (2) an:

          2x

(immer der Teil, wo das x einmal vorkommt).

Dieser Teil entspricht 2ab aus der binomischen Formel:

(3)          2x = 2ab

Oben haben wir schon festgestellt, dass a = x ist - das setzt du in die Gleichung (3) ein:

(4)         2x = 2xb   | teilen durch 2x

                1 = b

Somit bekommst du für die binomische Formel:

           (a+b)^2 = (x+1)^2

Bei dieser Umwandlung passiert aber immer ein Fehler. Wandelst du die Binomische Formel wieder um kommt folgendes raus:

(5)       (x+1)^2 = x^2 + 2x +1

Wenn du dir deine Ursprüngliche Gleichung (2) anschaust, siehst du, dass es nicht hinkommt:

      x^2+2x+1 != x^2+2x+8        [ != ist ungleich]

Das heißt, wir müssen die Binomische Formel so anpassen, dass die Gleichungen übereinstimmen - in dem Fall muss zur linken Gleichung einfach 7 addiert werden:

      x^2 +2x+1 +7 = x^2+2x+8

Jetzt kannst du wieder aus dem Term x^2 +2x+1 deine Binomische Formel machen:

     (x+1)^2 +7 = x^2 +2x+8

Und nun steht deine Scheitelpunktform fast da, vergiss nicht, dass du in Gleichung (1) eine 2 ausgeklammert hast:

     y = 2((x+1)^2 +7)

Die äußere Klammer auflösen und du bist fertig:

    y = 2(x+1)^2+14

=> Dein Scheitelpunkt ist bei (-1|14)

Ob die Lösung deiner Lehrerin richtig ist, kannst du leicht überprüfen, du löst einfach die Klammern auf und bringst sie wieder auf die Normalform:

2(x+2)^2+8                                 | Binomische Formel

                    = 2(x^2+4x+4) +8   | Klammer auflösen

                   = 2x^2+8x+8 + 8    | zusammenfassen

                   = 2x^2 + 8x +16

Du siehst, dass ist eine andere Formel, als oben angegeben.

Mit dem Weg (ausführlichen) kannst du jede Normalform in die Scheitelpunktform umwandeln. Du kannst dir auch selbst Gleichungen ausdenken und dann wie unten kontrollieren.

Viel Spaß :-)

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y = 2(x² + 2x + 8)

y= 2((x²+2x+2)-2+8)

y = 2((x+1)² + 6)

y = 2(x+1)² + 12

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Kommentar von Blvck
06.03.2016, 12:43

*Müsste -2 + 16 heißen sry

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Kommentar von Pantoffelheld88
06.03.2016, 12:44

wo kommt des hin blicke nicht ganz durch :D

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Kommentar von Blvck
06.03.2016, 13:15

y = 2(x²+2x) + 16 -> y=2(x²+2x+2)-2+16 -> y=2(x+2)² + 14 so

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