Hilfe, beschränktes Wachstum (Mathe)?

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1 Antwort

Von Rezepten, die man nicht versteht und die vom Himmel fallen, halte ich wenig.

Ich würde dazu erst einmal die Tabelle ergänzen

Jahr                 Anzahl                         Änderung

0                     8000

1                     6000                             -2000

2                     5000                             -1000

3                      4500                             -500

4                      4250                              -250

...

Im nächsten Schritt drücke ich die Änderung mit einem Term in Abhängigkeit der Jahre aus.


Jahr                 Anzahl                         Änderung
n                      A(n)

0                     8000

1                     6000                             -2000   

2                     5000                             -1000  

3                      4500                             -500  

4                      4250                              -250

...


A(1) = 8000 -2000/1

A(2) = 8000 -2000/1 -2000/2

A(3) = 8000 -2000/1 -2000/2  - 2000/4

A(4) = 8000 -2000/1 -2000/2  - 2000/4 -2000/8
...

A(n) = 8000 -2000*(1/1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^n))

Aus dem Unterricht sollte bekannt sein:

Die Reihe (1/1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^n)) konvergiert gegen 2

Suche: Grenzwert Reihe 1/(2^n)

Für n gegen unendlich gilt

lim A(n) = 8000 -2000*2

lim A(n) = 4000


Vom Sättigungsmanko habe ich noch nie etwas gehört.

Aber setzt man meine Ergebnisse in

B(n+1) - B(n) = k (S-B (n) ) ein,

so erhält man bei einer Grenzwertbetrachtung

B(n+1) = A(n+1) = 8000 -2000*(1/1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^n) +1/(2^(n+1)) )

B(n) = A(n) = 8000 -2000*(1/1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^n))

k = Faktor

S = 4000

linke Seite:
B(n+1) - B(n) = -2000*1/(2^(n+1))

rechte Seite:

k*(4000 -(8000 -2000*(1/1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^n))) =

k*(-4000 + 2000*(1/1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^n)))


B(n+1) - B(n) = k (S-B (n) )


-2000*1/(2^(n+1)) = k*(-4000 + 2000*(1/1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^n)))

Beide Folgen konvergieren für n gegen unendlich gegen 0

0 = 0

wahre Aussage



















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