Hilfe bei vollständiger Induktion bei einem "Würfel"?

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3 Antworten

Hallo,

Du mußt überlegen, was passiert, wenn sich n jeweils um 1 erhöht.

Wenn Du 1 Würfel mit der Seitenlänge 1 hast, gibt es natürlich nur eine Möglichkeit, einen Würfel aus dem vorhandenen Material zu bilden, eben diesen einen. Hast Du nun einen Würfel mit der Seitenlänge n=2, der aus 2³=8 Würfeln zusammengesetzt ist, dann hast Du einmal den kompletten Würfel plus acht Einzelwürfel, macht zusammen 9. Bei der Seitenlänge 3 kommst Du auf 27 Einzelwürfel, zu denen Du noch 9 hinzuzählen kannst, nämlich einmal den kompletten und acht mögliche 2x2x2-Würfel, zu denen Du die 27 Einzelwürfel zusammenfassen kannst, denn Du bekommst auf acht verschiedene Weisen einen 2x2x2-Würfel in einen 3x3x3-Würfel hinein, je nachdem, welche beiden nebeneinander, hintereinander oder übereinander liegenden Würfel Du zu solch einem 2x2x2-Würfel zusammenfaßt. Das bringt Dich zu der Summe 1+8+27=36 mögliche Würfel, die aus einem würfelförmigen Block von 27 Einzelwürfeln gebildet werden können. Siehst Du die 1, die 8 und die 27 einmal genauer an, so merkst Du, daß es sich um Dreierpotenzen handelt, nämlich 1³, 2³ und 3³, daß also die Summe von möglichen Würfeln in einem Würfel der Seitenlänge n die Summe der Folge (an)=n³ ist. 

Die Behauptung lautet also, daß Sn={[n*(n+1)]/2}² die Summenformel für (an)=n³ ist.

Zunächst beweisen wir dies für das erste Folgeglied a1:

Wenn Du für n eine 1 einsetzt, kommst Du auf (1*2/2)², also 1, was der Wahrheit entspricht: 1 Einheitswürfel, eine Möglichkeit.

Nun mußt Du zeigen, daß dies für beliebige n gilt. Dies machst Du so, indem Du beweist, daß {[n*(n+1)]/2}²+(n+1)³ dasselbe ist, als wenn Du gleich anstatt n das Folgeglied (n+1) in die Summenformel einsetzt, daß also {[(n+1)*(n+2)]/2}² dassebe ist wie {[n*(n+1)]/2}²+(n+1)³, denn das jeweils nächste Folgenglied der Summenfolge ergibt sich ja daraus, daß die nächste Dreierpotenz zu der Summe der bisherigen addiert wird.

Dazu mußt Du nur die beiden Formeln ausmultiplizieren und zusammenfassen, was Dich bei beiden zu dem Ergebnis 
(n⁴+6n³+13n²+12n+4)/4 führt.

Herzliche Grüße,

Willy

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angenommen es gilt für n (für n=1 schaffst du schon den induktionsanfang ;-)
für n->n+1 folgt
((n+1)(n+2)/2)^2=
...
paar umformungen
...
=(n(n+1)/2)^2  +  n³+3n²+3n+1
=Würfel aus n Einheitswürfel    + n³+3n²+3n+1
Du musst also begründen das wenn du alle Seiten um 1 Würfel verlängerst
insgesammt  (n+1)³ mehr Würfel entstehehn
oder auch n³+3n²+3n+1
Allein die Einheitswürfel die mehr sind sind
3n²+3n+1
da
du an 3 Seiten eine n*n Fläche dazu tust, die dann mit noch 3 kanten zusammenfügst, und ein Eck Stein dazu kommt um den Würfel zu vervollständigen (wenn du die bsp durchprobiert hast ist das klar)
also hast du:
Würfel aus n Einheitswürfel + neue Einheitswürfel+ n³ Würfel die in diesem Würfel entstehen
, und wie man auf  die n³ kommt, kannst du jetzt weiterüberlegen, (es sollte ja nur ein Denkanstoss sein, keine Lösung)

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Mikkey 09.11.2015, 22:36

Das sollte jemand, der das studiert eigentlich auch ganz allein können. Für mich ist das Schulstoff.

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(n+1)³ = n³+3n+3n²+1   glaube ich;musst mal gucken, ob richtig.

dann für n³ setzt du die Annahme (n(n+1)/2)² ein... +3n+3n²+1

dann alles umformen zu ((n+1)(n+2)/2)²

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