Hilfe bei Mehrfachintegration

...komplette Frage anzeigen Aufgabenstellung - (Mathe, Mathematik, Integration)

3 Antworten

berechne doch einen Viertel Kreis mit r=5 und zieh dann das Dreieck ab.

Krebshoden 04.02.2015, 19:22

Ja so gehts aufjedenfall auch aber wir sollen das halt über Doppelintegration lösen :/

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Um J = ∫f(x)dx von 0 bis 5 mit f(x) = √(25 – x²) zu berechnen, substituiert man x = 5 sinz.

Damit wird f(x) zu 5cosz und mit x‘ = dx/dz = – 5sinx , ist dx = – 5sinz dz und der

Integrand ist 25 cos²z dz. Die Integrationsgrenzen sind dann z = 0 bis z = π/2.

Nun ist 2cos²z = 1 + cos2z , das lässt sich leicht integrieren.

Zum Schluss noch mit z = arc sin ⅕x zurück transformieren.

Ist es bis dahin richtig?

Wenn du da quasi den Satz von Tonelli bzw. Fubini anwenden willst und die Zeichnung stimmt, dann ja.

zweite Frage, wenn ja wie inegriere ich dann im nächsten Schritt sqrt(25-x^2) ?

  • Substitution
  • Polarkoordinaten
  • Argumentation über Kreisfläche (falls bewiesen)
Krebshoden 04.02.2015, 19:24

Was meinst du mit Argumentation über Kreisfläche?

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Drainage 04.02.2015, 19:28
@Krebshoden

sqrt(25-x^2) ist doch der Halbkreis mit Radius 5, auf deinem Bereich Viertelkreis und von dem kennst du die Fläche.

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Drainage 04.02.2015, 19:43
@Krebshoden

In den geschwungenen Klammern immer die Integralgrenzen...

ſ {0,5} ſ {-x+5,sqrt(25-x²} 1 dy dx

= ſ {0,5} (sqrt(25-x²) +x-5) dx

= ſ {0,5} sqrt(25-x²) dx + ſ {0,5} x-5 dx

= 25π/4 + 25/2 - 25 (*)

= 25π/4 - 25/2

Jetzt zu *:

Wende Polarkoordinaten an, also Radius r = 5 und Φ = [0,π/2]

ſ {0,5} sqrt(25-x²) dx

= ſ {0,5} r ſ {0,π/2} 1 dΦ dr

= π/2 ſ {0,5} r dr

= 25π/4

Bemerke, dass die Lösung Sinn ergibt (Viertelkreis minus Dreieck nach Schulmathematik kommt aufs Selbe...).

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