Hilfe bei Mathe Aufgabe(Integralrechnung)?

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4 Antworten

Du sollst den Flächeninhalt zwischen x-Achse und Graph von ln(x) zwischen 0,5 und 1 berechnen.

Der ln(x) ist der natürliche Logarithmus, der Logarithmus zur Basis e.

Da du die Fläche, die der ln mit der x-Achse einschließt, berechnen sollst, musst du integrieren.

Durch partielle Integration ergibt sich: ∫ ln(x) dx = -x + x*ln(x)

Sei f(x) = ln(x).

Um die Fläche zu berechnen, stellst du folgenden Ansatz auf:

      1
A = ∫ f(x) dx
     0,5

Damit lässt sich der Flächeninhalt berechnen:

      1
A = ∫ f(x) dx = F(1) - F(0,5) = (-1 + 1 * ln(1)) - (-0,5 + 0,5 * ln(0,5) = -0,15
     0,5

Der Flächeninhalt ist negativ, da der gesuchte Bereich offensichtlich unter der x-Achse, sprich im negativen y-Bereich liegt.

Somit schließt der Graph von ln(x) eine Fläche von etwa 0,15 LE mit der x-Achse ein.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

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Was ln bedeutet, weißt Du ja jetzt. Da Du aber den Flächeninhalt ausrechnen sollst, die eine gegebene Funktion mit der x-Achse einschließt, mußt Du nicht ableiten, sondern integrieren.

Ableitung wäre übrigens f'(x)=1/x
Das Integral von ln(x) ist x(ln(x)-1)  [+C].

[An dieses Ergebnis kommst Du, indem Du Integral(1* ln(x) dx) per partieller Integration löst. Formel: Integral(f' * g)=fg - Integral(fg').

Wobei f'=1 und g=ln(x) gesetzt wird.]

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logarithmus zur basis e(eulersche zahl) wird als natürlicher logarithmus bezeichnet und mit ln abgekürzt (logarithmus naturalis)

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