Hilfe bei extremwertaufgabe ?

9. - (Mathe, Abitur, Klausur)

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Hallo mrblack321

Bei dieser Aufgabe besteht die Schwierigkeit zunächst darin, die Abhängigkeit zwischen dem Grundkreisradius des Kegels r, der Höhe des Kegels h und dem Radius der Kugel R (R = 9cm) herauszufinden.

Hilfreich ist dabei das eingezeichnete rot schraffierte Dreieck, dessen obere Ecke auf dem Kugelmittelpunkt M liegt und dessen untere rechte Ecke als Fußpunkt F bezeichnet werden soll. Als Hilfsgröße, um dann den "Pythagoras" anwenden zu können, wird noch die Strecke MF benötigt, die mit x bezeichnet werden soll.
Nach (längerer) Betrachtung sieht man, dass gilt:   h = R + x;   ---> x = h - R
Laut "Pythagoras" gilt außerdem:    R² = x² + r² = (h - R)² + r².
Daraus folgt:   r² = R² - (h - R)² = R² - h² + 2hR - R² = -h² + 2hR;
                       r² = h(2R - h)

Damit ist der gesuchte Zusammenhang zwischen r, h und R gefunden. Damit geht man nun in die Formel für das Volumen V des Kegels:
V = (pi/3)*r²h = (pi/3)*h(2R-h)*h = (pi/3)*(-h³ + 2Rh²)

Um die optimale Höhe h zu finden, bei der V sein Maximum erreicht, muss man V nach h differenzieren und die Ableitung V' gleich Null setzen. Ein Maximum von V liegt dann vor, wenn an der Stelle der optimalen Höhe die zweite Ableitung von V, nämlich V'', negativ, also kleiner Null ist.
V' = (pi/3)*(-3h² + 4Rh) = 0;  ---> h(4R-3h) = 0;    h1 = 0;     h2 = (4/3)R;
V'' = (pi/3)*(-6h + 4R);   
V''(h1) = 0,    V''(h2) = (pi/3)*(-6*(4/3)R + 4R) = (pi/3)*(-8R) < 0;  Maximum!

Bei h = (4/3)R liegt somit ein Maximum vor. Der zugehörige Grundkreisradius r des optimalen Kegels ist:
r = Wurzel(h(2R-h)) = Wurzel((4/3)R(2R - (4/3)R)) = Wurzel((4/3)R*(2/3)R);
r = Wurzel((8/9)R²);
r = (2/3)Wurzel(2)*R.

a) Der Grundkreisradius r des optimalen Kegels ist
     r = (2/3)Wurzel(2)*R = 8,4853 cm.    (mit R = 9cm)
    Die Höhe h des optimalen Kegels ist   h = (4/3)R = 12 cm.

b) Das Volumen V des optimalen Kegels ist 
   V = (pi/3)r²h = (pi/3)*((2/3)Wurzel(2)*R)² * (4/3)R = (pi/3)*(8/9)R² * (4/3)R;
   V = (32/81)*pi*R³ = 904,779 cm³      (mit R = 9cm)
   (zum Vergleich: Das Kugelvolumen ist Vkugel = (4/3)*pi*R³ = 3053,628 cm³)

c) Die Zielfunktion ist V(h) = (pi/3)*(-h³ + 2Rh²). Der definierte Bereich ist
    meines Erachtens von h = R bis h= 2R.

Es grüßt HEWKLDOe.

also das Volumen eines Kegels beträgt 1/3 mal pi mal r² mal h.

Der Radius der Kugel dagegen ist die Hypotenuse des roten Dreiecks. Die 9 cm finden sich auch bei der Höhe von oben bis zum Schniuttpunkt mit einer Katrhete des roten Dreiecks.

die Kathete nenne ich x

dann ist h = 9+x oder h - 9 = x

Außerdem x² + r² = 81

h-9 = x mithilfe der 1. binomischen formaql in x² einsetzen

h² - 18 h + 81 +r² =81

h² - 18 h + r² =0

h²- 18 h = - r²

Jetzt in die Zielfunktion einsetzen

V = 1/3 mal pi mal (-h²+18h) mal h

V = 1/3 mal pi mal -h³ mal 18h²

Ableiten

V' = 1/3 mal pi mal -3 h² mal 36 h

null setzen

Nullstellen berechnen, Maximum ermitteln, einsetzen in die Volumengleichung.

woher wusstest du aber dass die 9cm die hypotenuse ist

0

Also die Formel für das Volumen des Kegels ist ja

V = 1/3 * Pi * r^2 * h

Jetzt musst du eben schauen, wie r und h zu wählen sind, um das größtmögliche Volumen heraus zu bekommen.

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