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3 Antworten

Behauptung: n(n²-1) ist für alle natürlichen Zahlen n durch 3 teilbar

Beweis durch vollständige Induktion

1. n=1: 1 *(1²-1)=0 ist durch 3 teilbar

2. die Behauptung gelte für n

3. n -> n+1 (n+1)((n+1)²-1)=(n+1)(n²+2n)=n(n+1)(n+2)

Das sind 3 aufeinander folgende natürliche Zahlen, davon ist eine immer durch 3 teilbar.

n * (n²-1)

n²-1 kann man auch schreiben als (n-1)*(n+1)

mit n multipliziert also: n*(n-1)*(n+1) oder auch in anderer Reihenfolge:

(n-1) * n* (n+1)

Das ist, wie man jetzt leicht sieht, das Produkt aus drei aufeinanderfolgenden Zahlen. Damit ist eine der drei Zahlen immer durch 3 teilbar und somit ist auch das Produkt durch 3 teilbar (Primfaktorzerlegung).

BTW: Bist du aus Hamburg (Nick). Falls ja, wie ist die Lage.

Du musst einfach die drei Möglichkeiten durchgehen:

  1. n ist durch 3 teilbar, dann ist der Term logischerweise auch durch 3 teilbar, da man mit n multipliziert
  2. n ist kongruent 1 mod 3, dann ist n^2 -1 durch 3 teilbar und damit auch der ganze term
  3. n ist kongruent 2 mod 3, dann ist n^2 -1 durch 3 teilbar und damit auch der ganze Term
NadineHamburg 06.07.2017, 12:56

Ich kapiere das überhaupt nicht. kannst du mir die Lösung sagen?

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DerWahreGommeHD 06.07.2017, 13:06
@NadineHamburg

Wenn du die Zahl n durch 3 teilst hast du 3 Möglichkeiten: Sie ist teilbar, sie hinterlässt Rest 1 oder sie hinterlässt Rest 2. Mit diesen Resten kannst du nun rechnen. Bei nummer 1 hat n Rest 0, damit auch der ganze Term, da man mit n, also mit 0 multipliziert.

Hinterlässt n den Rest 1, so hinterlässt n^2 auch rest 1 und damit n^2-1 Rest 0.

Hinterlässt n den Rest 2, so hinterlässt n^2 rest 4, bzw. rest 1, da 4 geteilt durch 3 rest 1 hinterlässt. damit hinterlässt n^2-1 rest 0.

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