Hilfe bei der Mathe Übung?

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2 Antworten

Du setzt mal eine Polynomsfunktion dritten grades an:

f(x) := a*x³+b*x²+c*x+d

Ein Hochpunkte und Tiefpunkte (allgemein Extremwerte) haben die Eigenschaft dass die erste Ableitung an der Stelle 0 ist.

Also bildest du die erste Ableitung von f:

f'(x) = 3a*x²+2b*x+c

Aus der Kenntnis dieses Wertes kannst du dir zwei Gleichungen aufstellen:

1) f'(1) = 3a+2b+c = 0

2) f'(-1) = 3a-2b+c = 0

Da wir für 4 unbekannte Variablen (a,b,c,d) 4 Gleichungen benötigen fehlen noch 2.

Die zwei Gleichungen haben wir aber durch die Angabe der Punkte stehen:

3) f(1) = a+b+c+d = 0

4)f(-1)=-a+b-c+d = 4

Damit haben wir 4 Gleichungen 4 Unbekannte und damit ein eindeutig Lösbares Lineares Gleichungssystem.

Bei der Angabe gibt es aber ein Problem durch die Angabe des Wendepunktes haben wir 2 Gleichungen zu viel und zwar zum einen Gleichugn für den Punkt selbst und zum anderen dass die zweite Ableitung hier 0 sein muss.

Damit haben wir ein Überbestimmtes Gleichungssystem und das ist für die Lösung sehr schlecht!

Du kannst aber versuchen mit dem oberen Gleichungsystem die Koeffizienten von a b c und d zu bestimmen und dann den Wendepunkt zu überprüfen, wenn er stimmt ist das deine Lösung, wenn nicht hast du dich verrechnet oder das Beispiel hat keine Lösung.

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Kommentar von Schachpapa
07.06.2016, 12:37

Kleine Anmerkung:

Nicht immer bedeuten 4 Gleichungen bei 4 Unbekannten eine eindeutige Lösung.

Nimmt man in diesem Fall aus den 6 möglichen Gleichungen nur die Extremstellen und den Wendepunkt, erhält man folgendes System:

f ' (1) = 0 =>  3a + 2b + c = 0
f ' (-1) = 0 => 3a - 2b + c = 0
f'' (0) = 0 => 2b = 0
f(0) = 0 => d = 2

Woraus  b=0 und d=2 folgt. Soweit so nett, aber die ersten beiden Zeilen werden zu 3a + c = 0 bzw. c = -3a

Dann muss man noch f(1) = 0 => a+b+c+d=0 dazunehmen, damit es eindeutig wird. Oder wenn man es lieber kompliziert mag f(-1) = 4.

Also immer alle berücksichtigen und sicherstellen, dass die "überzähligen" Gleichungen der bisherigen Lösung nicht widersprechen. Sonst gibt es eben keine. (Z.B. wenn hier als Wendepunkt (0|3) gegeben wäre)

0

Bist du sicher, dass das die Lösung ist? f(1)=1^3-1^2-8*1+12=4 und nicht null, wie gefordert...

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Kommentar von Schachpapa
07.06.2016, 12:39

Das wurde anscheinend nachträglich korrigiert

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