HHilfe bei eigentlich einfacher Matheaufgabe?

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6 Antworten

Bei solchen Formulierungen wie "größer als", aber auch bei "mindestens", "höchstens", "weniger als" sollte man sich immer überlegen, welche Möglichkeiten das überhaupt einschließt. Beispielsweise schließt "größer als 5" alle Augensummen von 6 bis 24 ein (wenn alle Würfeldurchgänge eine 6 ergeben, ist die Augensumme ja 24, daher ist das die maximale Augensumme).

Anschließend sollte man überlegen, was das Komplementärereignis ist (also welche Augensummen noch möglich sind): dann kommt man darauf, dass die Augensumme auch 4 oder 5 sein kann.

Jetzt schaut man sich diese beiden Ereignisse an und stellt fest, dass "4 oder 5" weniger Möglichkeiten sind als "6 bis 24". Deswegen ist es mehr Rechenaufwand, P (größer als 5) zu berechnen. Daher ist es sinnvoll, die Wahrscheinlichkeit von "4 oder 5" zu berechnen und das Ergebnis von 1 abzuziehen. Denn so erhält man die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme größer als 5 ist.

Im Folgenden stelle ich das nochmal dar:

P (größer als 5) + P (4 oder 5) = 1 (<- ist dir das klar? Das muss dir klar sein).

Durch Umformen bekommt man:

P (größer als 5) = 1 - P (4 oder 5)

Wenn man jetzt also P (4 oder 5) ausrechnet und von 1 abzieht, erhält man P (größer als 5).

Die Wahrscheinlichkeit der Augensumme 4 ist ganz einfach: Man muss ja dafür 4 Mal hintereinander eine 1 würfeln. Die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu würfeln ist in einem Durchgang 1/6.

4 Mal hintereinander 1 würfel: 1/6*1/6*1/6*1/6, also (1/6)^4.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme 5 ist, zu berechnen, ist schon schwieriger, weil das auch mehrere Möglichkeiten einschließt. Das bedeutet ja erstmal, dass man dreimal eine 1 und einmal eine 2 würfelt. Und es gibt ja mehrere Möglichkeiten wie das passieren kann (die 2 kann an erster Stelle, an zweiter, an dritter oder an vierter Stelle sein):

2,1,1,1
1,2,1,1
1,1,2,1
1,1,1,2

4 verschiedene Möglichkeiten. Von jeder Möglichkeit musst du die Wahrscheinlichkeit berechnen und diese Wahrscheinlicckeiten dann addieren.

Glücklicherweise ist die Wahrscheinlichkeit immer gleich: Beispiel 2111:
Beim ersten Mal eine 2 würfeln: 1/6. Danach immer eine 1 würfeln: auch immer 1/6.

Also ist die Wahrscheinlichkeit für P (2,1,1,1) = 1/6*1/6*1/6*1/6 = (1/6)^4

Und jede von diesen 4 Möglichkeiten hat diese Wahrscheinlichkeit (1/6)^4

Also ist die Wahrscheinlichkeit, als Augensumme 5 zu haben: 4*((1/6)^4)

Darauf musst du noch die Wahrscheinlichkeit, 4 als Augensumme zu haben, addieren. Also: P (Augensumme 4 oder 5 ) = 5* ((1/6)^4)

Das von 1 abziehen:

P (größer als 5) = 1 - 5*((1/6)^4) = 0.9961 (gerundet)

Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist gleich 1-Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses (Summe <=5)

Insgesamt gibt es 6^4=1296 Möglichkeiten

(1,1,1,1) ergibt 4

(1,1,1,2) (1,1,2,1) (1,2,1,1) (2,1,1,1) ergibt 5

Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses beträgt also 5/1296, die Wahrscheinlichkeit des gesuchten Ereignisses beträgt 1-5/1296=1291/1296.

Bei 4-mal würfeln gibt's insgesamt 6⁴ vierschiedene mögliche Kombinationen der vier gewürfelten Zahlen.
Und jetzt überleg mal, was da als Summe rauskommen kann, wenn du 4-mal würfelst.
Z.B. bei 4 Sechsen ist die Augensumme: 24,
bei 4 Einsen ist die Augensumme: 4
bei 3 Einsen und 1 Zwei ist die Augensumme: 5

Augensumme größer als 5, das bedeutet, dass die Konstellationen: [4 Einsen] oder [3 Einsen und 1 Zwei] NICHT dabei sein dürfen.
Bei allen anderen Konstellationen ist die Augensumme größer als 5.

Jetzt musst du dir nur noch die entspr. Wahrscheinlichkeit ausrechnen :-)
Das schaffst du selbst ;-)

Mach dir die Ergebnismenge klar. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Welche Möglichkeiten erfüllen geforderte Eigenschaft, welche nicht?

In diesem Fall ist es außerdem sehr wichtig zu wissen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich Eins minus der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ist.

Kann man schwierig erklären aber mithilfe von einem baum Diagramm geht es ganz einfach, google das mal oder steht es bei euch im mathe Buch? Ist bekannt mir nämlich schon länger her das Thema :D

*bei

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Ein Baumdiagramm. Bei 1296 Möglichkeiten.
Ist das dein Ernst?

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Du hast 6 Zahlen und eine,nämlich die 6 ist größer als 5. Die Wahrscheinlichkeit ist 1:6, egal wie oft gewürfelt wird.

Schön einfach, aber passt nicht zur Aufgabe :-(
Augensumme bedeutet, dass die 4 Zahlen addiert werden ;-)

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