Hey wie löse ich mithilfe von Polynlmdivision diese Aufgabe: (x^4-1):(x+1)?

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9 Antworten

Diese Webseiten zeigen dir einen einigermaßen brauchbaren Rechenweg an :

http://matheguru.com/rechner/polynomdivision/

https://www.matheretter.de/formeln/algebra/polynomdivision/

Bei der ersten Webseite oben den Zählerbruch eingeben, darunter den Nennerbruch und dann auf "GO" klicken.

Bei der zweiten Webseite links den Zählerbruch eingeben und rechts den Nennerbruch.

Perfekt erklärt wird es auf den Webseiten nicht, aber wenn du weißt, dass man zuerst teilt und anschließend eine Rückmultiplizierung des Divisionsergebnisses mit dem Nennerbruch macht und das dann subtrahiert, dann erkennst du den Rechenweg.

Denke erst mal eine Zeit lang in Ruhe darüber nach, dann solltest du es eigentlich erkennen können, was da gemacht wird.

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x^4-1=x^4+0x³+0x²+0x-1; so ist der Zähler länger :)
Muss es denn unbedingt mit Polynomdivision sein?
Mit Hilfe der 3. binomischen Formel geht es schneller ohne:
(x^4-1)=(x²-1)(x²+1)=(x+1)(x-1)(x²+1)
Hier siehst Du, dass man (x+1) kürzen kann...

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Du lässt die möglichen Plätze für die anderen Potenzen offen (Menge der Lücken überschlagen) und rechnest wie gewohnt:

 (x⁴                     - 1) : (x - 1)  =  x³ + x² + x + 1
-(x⁴ - x³)
_________
        x³
      -(x³ - x²)
      _________
              x²
            -(x² - x)
            __________
                    x    - 1
                  -(x   - 1)
                  _______
                            0

Ha. Ich habe aus Versehen durch (x-1) dividiert. Aber es ist analog. Wichtig waren hier die Lücken im Dividenden.

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Zur Verdeutlichung Polynom erst mal so schreiben

x^4 + 0 * x^3 + 0 * x^2 + 0 * x - 1

Schritt 1 :

  x^4 +  0 * x^3 + 0 * x^2 + 0 * x - 1
-(x^4 + 1 * x^3)                                       | (x+1) * x^3
-----------------------------------
           -1 * x^3 + 0 * x^2 + 0 * x - 1

Schritt 2 :

  -1 * x^3 + 0 * x^2 + 0 * x - 1
-(-1 * x^3 - 1 * x^2)                                 | (x+1) * -x^2
-----------------------------------
                 1 * x^2 + 0 * x - 1

Schritt 3 :

  1 * x^2 +  0 * x - 1
-(1 * x^2 + 1 * x )                                    | (x+1) * x
-----------------------------------
                -1 * x - 1

Schritt 4 :

   -1 * x - 1
- (-1 * x - 1)                                             | (x+1) * -1
-----------------------------------
0

Insgesamt wurde der Ausdruck (x+1) mit (x^3 - x^2 + x - 1)

multipliziert, d.h.

(x^4 - 1) / (x + 1) = x^3 - x^2 + x - 1

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Kommentar von DepravedGirl
14.07.2017, 15:43

Ja, das ist perfekt erklärt, die Internetwebseiten könnten sich ein Beispiel an dir nehmen.

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Substitution z=x² ergibt f(z)=z²-1 ergibt z1,2=+/-Wurzel(1)=+/-1

x²=1  ergibt x1,2=+/-1

x²=-1 ergibt 2 konjugiert komplexe Lösungen

(x⁴+0*x³+0*x²+0*x-1):(x+1)=x³-x²-x-1

Die polynomdivision bringt hier nix,weil eine ganzrationale Funktion 3.ten Grades entsteht.

Man sieht sofort das auch hier eine Nullstelle bei x1=1 ist und bei x2=-1

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Ohne Division mit 2 mal Anwendung der 3.binomischen Formel

x^4 - 1 = (x²+1) • (x²-1) = (x²+1) • (x+1) • (x-1)

(x^4 - 1) / (x-1) = (x²+1) • (x+1)

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Faktorisierte Form; 3. binomische Formel: ( a + b )^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

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Deine Aufgabe wurde ja schon gelöst, aber hier nochmal die Polynomdivision zum Mitsingen:

Ab 2:08 wird auch auf das Problem des "kurzen ersten Teils" eingegangen. ;)

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(x^4-1):(x+1)=x³-x²+x-1;

-(x^4+x³)

_________

-x³+1

-(-x³-x²)

_______

x²+1

-(x²+x)

_______

-x+1

-(-x-1)

________

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