Hey weiß jemand wie man das löst?

 - (Schule, Mathe, Mathematik)

4 Antworten

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Der übliche Weg, wäre über die Extremstellen und dann über Intervalle.

Aber man kann auch direkt auf die Definition der Monotonie über die Ableitung zugreifen.

Unformal gesagt:

f ist streng monoton wachsend, wenn gilt:

    und entsprechend gilt streng monoton fallend:



Woher ich das weiß:Hobby – Schüler.

super danke und wie berechnet man die hoch und Tiefpunkte?

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@NikoJ

Die Ableitung einer Funktion, gibt die Steigung der Tangente, an dem jeweiligen Punkt am Graphen an. An einer Extremstelle(relativ), ist die Tangentensteigung null, daher musst du also notwendige Bedingung, die erste Ableitung gleich null setzen.

Jedoch ist noch Vorsicht geboten. Deine berechnete Stelle muss jetzt noch klassifiziert werden, also ob es ein Hoch, Tief oder sogar Sattelstelle ist. Hierfür kannst du die zweite Ableitung verwenden. Es gilt zusammengefasst:

Extremstellen:

NB: f'(x) = 0

HB : f''(x) > 0 --> TP

f''(x) < 0 --> HP

Strenggenommen darf auch f''(x) nicht null sein, aber das sieht man ja.

Erläuterung zu HB:

Hast du einen Hochpunkt an einer Funktion f, so steigt zuerst der Graph, daher die Ableitung wird positiv. Danach hat sie die Steigung null und am Ende fällt der Graph wieder, daher die Steigung wird negativ. Die erste Ableitung hat also einen VZW von + --> -, bei einem Hochpunkt. Dies bedeutet aber auch, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle kleiner als null ist, weil ja der Graph in diesem Bereich fällt. So deswegen gilt bei einem Hochpunkt f''(x) < 0.

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a) Die üblich Zauberrei mit Ableitungen bilden und Hoch-Tiefpunkte bestimmen; dann nachdenken, wie sich die Funktion in den jeweiligen wichtigen Intervallen verhält.

Am besten eine Skizze machen, dann sieht man alles.

Eigentlich geht es bei allen so, nur die e) ist noch leichter, da man ja weiß wie die Sinusfunktion aussieht. Skizze machen und alles einfach sehen.

wie bestimmt man die hoch/Tiefpunkte?

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@NikoJ

Das müßtest Du doch gelernt haben. Sonst wäre die Aufgabe völlig fehlgestellt.

Versuche Dich zu erinnern: 1. Ableitung bilden; Nullstelle der 1.Ableitung; 2.Ableitung bilden und prüfen ob >0 oder <0 (rechts- oder Linkskurve)

Klingelt es ? wenn nein, dann müßten wir einen ganz langen Exkurs machen ...

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@Florabest

wir haben im Moment keine Schule... das Thema ist leider ganz neu für uns

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@NikoJ

Dann muß es im Buch stehen.

Ich fasse es nur ganz kurz zusammen, für eine Mathe-Doppelstunde ist hier wirklich nicht der Platz.

Du weißt aber schon, was eine Ableitung ist? Wenn nicht dann kannst Du aufhören zu lesen - dann bringt es nichts.

Die Ableitung gibt die Steigung einer Funktion in jedem Punkt des Funktionsgraphen an. Wenn die Ableitung an einer Stelle gleich Null sit, bedeutet dies (logischerweise), dass die Funktion dort nicht steigt. D.h.: entweder ist die gesamte Funktion parallel zu x-Achse oder eben und "für einen kurzen Moment" an diesem Punkt. Was wiederum nichts anderes sein kann als ein Hoch- oder ein Tiefpunkt. Mache eine Skizze für eine quadratische Funktion. Und bilde deren Ableitung und male diese Ableitungsfunktion in das Koordinatensystem mit anderer Farbe dazu. dann solltest du alles sehen und erkennen, was ich gemeint habe.

Mehr geht jetzt an dieser Stelle wirklich nicht.

Suche mal nach guten Erklärvideos auf YouTube.

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Als Beispiel die Teilaufgabe c:

Zunächst bestimmst du die erste und zweite Ableitung:

f(x)   = 1/3x³ - 1/4x² - 5x + 2
f'(x)  = x² - 1/2x - 5
f''(x) = 2x - 1/2

Nun kannst du die Extremstellen herausfinden, denn an diesen muss die erste Ableitung 0 sein:

0     = x² - 1/2x - 5
0     = (x - 1/4)² - 1/16 - 5
81/16 = (x - 1/4)²
+-9/4 =  x - 1/4
x1 = -2   x2 = 5/2

Nun finden wir mithilfe der zweiten Ableitung heraus, ob es sich um Minima, Maxima oder Sattelpunkte handelt:

f''(-2)  = 2 * (-2) - 1/2
         = -9/2 < 0 --> Maximum

f''(5/2) = 2 * (5/2) - 1/2
         = 9/2 > 0 --> Minimum

Da bei -2 ein Maximum vorliegt, sind die Funktionswerte davor natürlich geringer. Damit ist die Funktion auf dem Intervall ]-∞; -2[ streng monoton steigend. Danach sind die Funktionswerte ebenfalls geringer. Die Funktion ist auf dem Intervall ]-2; 5/2[ streng monoton fallend. Dann kommt ein Minimum, nach dem die Funktionswerte wieder zunehmen. Die Funktion ist auf dem Intervall ]5/2; ∞[ streng monoton steigend.

Die vollständigen Koordinaten der Extrempunkte erhalten wir durch Einsetzen:

f(-2)  = 1/3 * (-2)³ - 1/4 * (-2)² - 5 * (-2) + 2
       = -8/3 - 1 + 10 + 2
       = 25/3

f(5/2) = 1/3 * (5/2)³ - 1/4 * (5/2)² - 5 * (5/2) + 2
       = 125/24 - 25/16 - 25/2 + 2
       = -329/48

Die Extrempunkte lauten also H(-2 | 25/3) und T(5/2 | -329/48).

Ähnlich gehst du auch bei den anderen Teilaufgaben vor. Deine Lösung kannst du mithilfe eines GTR, CAS oder GeoGebra überprüfen.

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