Hey Leute! Ich brauche dringend eure Hilfe! Wieso kann die Entladungskurve eines Kondensators (Zeit und Stromstörke) als Exponentialfunktion beschrieben werden?

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4 Antworten

Wenn du eine Feder zusammendrückst, dann wirst du ab einem gewissen Punkt immer mehr drücken müssen, damit sie noch ein kleines Stück weiter geht. Beim Kondensator ist das ähnlich. Der Unterschied zwischen der Ladungsspannung am Kondensator und der Spannung, durch die Stromquelle wird immer geringer --> es muss immer mehr "Kraft" aufgebracht werden, damit diese Ladung da noch hinkommt. Und dies geschieht eben exponentiell. Es konvergiert gegen einen Wert.

Gut, dass du diese Frage stellst und nicht nur das akzeptierst, was in irgendeiner Gleichung steht. Es gibt allerdings auch lineare Kondensatoraufladungen. Wenn I konstant ist, dann ist die Aufladung glaube ich linear. Bei konstantem U ist sie exponentiell.

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Kommentar von Chris7svd
24.04.2016, 18:27

Danke das war sehr hilfreich!

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Kurze Antwort: Weil der Ansatz über die E-Funktion die dazugehörige Differentialgleichung löst.

Ausführliche Antwort:

Ein Kondensator wird über einen Ohmschen Widerstand entladen.

Du hast also einen Stromkreis aus einem Kondensator und einem in reihe geschalteten Widerstand.

Man kann jetzt mit zur Hilfenahme der Maschenregel eine Differentialgleichung aufstellen:

Uc + Ur = 0

Das heißt:

Die Spannung, die am Kondensator ist, ist genauso groß (zu jedem Zeitpunkt) wie die Spannung, die beim Widerstand abfällt.

-> Uc(t) + Ur(t) = 0

Uc(t) = Q(t)/C; Ur = I(t)*R

-> Q(t)/C + I(t)*R = 0

!dQ(t)/dt = I(t)!

-> Q(t)/C + dQ(t)/dt*R = 0

diese Differentialgleichung kann mit folgendem Ansatz für Q(t) gelöst werden:

!Q(t) = A*e^(-k*t)!

Q(t)/C + dQ(t)/dt*R = A*e^(-k*t)/C - k*A*e^(-k*t)*R = 0

Jetzt müssen nur noch die Konstanten A und k bestimmt werden:

A ist einfach die Ladung auf dem Kondensator zum Zeitpunkt Q(t=0).

k lässt sich aus dieser Gleichung bestimmen:

A*e^(-k*t)/C - k*A*e^(-k*t)*R = 0

= A*e^(-k*t)*(1/C - k*R) = 0

= 1/C - k*R = 0

<=> k = 1/(C*R)

->

Q(t) = Q(t=0)*e^(-1/(C*R)*t)

Uc(t) = Q(t)/C = Q(t=0)/C*e^(-1/(C*R)*t)

->

Uc(t) = U(t=0)*e^(-1/(C*R)*t)

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Je stärker er geladen ist, umso schneller entlädt er sich, bzw. um so größer ist der Strom. Du musst also die Differentialgleichung lösen:

dQ/dt = const. t

Variablentrennung und Integration ergibt deine E-Funktion.

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Kommentar von Ahzmandius
24.04.2016, 19:43

Äh nö:

dQ/dt = const*t

-> dQ = const*t dt

= Q(t)-Q(t0) = 1/2*const*t^2 - 1/2const*(t0)^2

-> Q(t) = 1/2*const*(t^2-(t0)^2)+Q(t0)

Keine E-Funktion

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In der Natur werden nun mal viele Wachstums-und Zerfallsprozesse mit einer e-Funktion ausgedrückt.. eine wichtige Rolle spielt dabei das Produkt aus Widerstand und Kapazität, das die Einheit Sekunden hat... analog zur Zerfallskonstante ist das die Lade/Entlade-Konstante beim Kondensator

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Kommentar von Chris7svd
24.04.2016, 18:28

Auch dir danke!

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