Herleitung Ziehen ohne Zurücklegen, mit und ohne Reihenfolge?

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2 Antworten

Hallo,

stell Dir eine Urne vor mit 10 durchnumerierten Kugeln, aus denen Du drei auswählst.

Wieviele mögliche Kombinationen gibt es?

Für die erste Kugeln gibt es 10 Möglichkeiten, eine der Zahlen von 1 bis 10; für die zweite gibt es noch 9 Möglichkeiten, weil eine Kugel bereits entfernt wurde; für die dritte sind noch acht Möglichkeiten übrig.

Das sind 10*9*8, also eine Fakultät, die nach der dritten Zahl abbricht.

Du kannst 10*9*8 auch als 10!/(10-3)! ausdrücken, also als
(10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)/(7*6*5*4*3*2*1), wobei sich alles bis auf die 8, die 9 und die 10 wegkürzt.

Du teilst also die Fakultät der Anzahl der Kugeln, die sich ursprünglich in der Urne befinden, durch die Fakultät der Differenz zwischen der Anzahl der Kugeln in der Urne und der Anzahl der gezogenen Kugeln.

Nennst Du die ursprüngliche Anzahl n und die Anzahl der gezogenen Kugeln k, kannst Du hieraus einen allgemeinen Term bilden, 

nämlich n!/(n-k)!

Dieser Term gibt die Anzahl aller möglichen Kombinationen wieder, die möglich sind, wenn Du k Elemente aus n Elementen auswählst, ohne die gezogenen Elemente zurückzulegen und unter Berücksichtigung der Reihenfolge der gezogenen Elemente.

Ist die Reihenfolge egal, mußt Du durch die Zahl der Permutationen teilen, die bei den gezogenen Kombinationen jeweils möglich sind. Ziehst Du drei Kugeln, kann die erste an drei Stellen auftauchen, die zweite kann sich noch zwei aussuchen, die dritte muß nehmen, was übrigbleibt, was 3*2*1=3! Permutationen ergibt.

Teilst Du n!/(n-k)! durch k!, kommst Du auf n!/[k!*(n-k)], was nichts anderes ist als der Binomialkoeffizient n über k.

Das ist die Anzahl der Möglichkeiten, die sich beim Lotto ergeben, etwa 6 aus 49, bei der eine gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird, die Reihenfolge, in der gezogen wird, aber egal ist.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von DerPcGamer
20.04.2017, 22:07

Ich könnte ihnen ein Bild schicken zu einem Auszug aus meinem Text den ich dazu geschrieben habe

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Kommentar von PWolff
21.04.2017, 12:48

Alternative Herleitung:

Es gibt bekanntlich (also schon vorher nachgewiesen) n! verschiedene Reihenfolgen unterscheidbarer Elemente. (D. h. für eine Urne: Ziehen, bis die Urne leer ist.)

Wir betrachten jeweils die ersten k Elemente als "gezogen" und die restlichen (n-k) Elemente als "in der Urne verbleibend". Da es nur auf die Reihenfolge der gezogenen Elemente ankommt, müssen wir alle Reihenfolgen zusammenfassen, die in diesen Elementen übereinstimmen und sich nur in der Reihenfolge der Elemente "in der Urne" unterscheiden. Ihre Anzahl ist gerade die Anzahl der möglichen Reihenfolgen von (n-k) Elementen (so viele, wie in der Urne), also (n-k)!.

Damit haben wir n! / (n-k)! Möglichkeiten, die nur nach der Reihenfolge der "gezogenen" Elemente unterschieden werden.

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Fall "ohne Berücksichtigung der Reihenfolge": Wenn wir zusätzlich von der Reihenfolge der "gezogenen" Elemente absehen, müssen wir auch durch die Anzahl der möglichen Reihenfolgen der "gezogenen" Elemente unterscheiden. Das sind jeweils k! Möglichkeiten.

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Weitere Alternative: Jede Herleitung eines Bildungsgesetzes des Pascalschen Dreiecks (z. B. durch vollständige Induktion) lässt sich als Herleitung der Formel für "Ziehen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge" auffassen, durch geeignete Interpretation der auftretenden Größen.

(Hoffentlich stimmt das - so habe ich es in Erinnerung, aber ich könnte es jetzt nicht nachprüfen.)

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