Herleitung Halbwertszeit und Zerfallsgleichung?

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1 Antwort

Ein Atomkern kann stabil oder radioaktiv sein, d.h. eine Neigung besitzen, sich unter Abgabe von Materieteilchen (α- oder β-Zerfall) und Energie (γ-Strahlung) in einen anderen umzuwandeln.

Ein Beispiel dafür ist ¹⁴C, das sich durch β-Zerfall, also Abgabe von schnellen Elektronen, in das stabile ¹⁴N umwandelt.

Der Grad dieser Neigung, das in einer bestimmten Zeitspanne ab Gegenwart zu tun, hängt ausschließlich von der Atomkern»sorte« (Nuklid) ab und wird durch die Zerfallskonstante λ ausgedrückt. Sie hat die inverse Dimension einer Zeit, da sie ja Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ist.

Da jeder einzelne ¹⁴C-Atomkern dieselbe Wahrscheinlichkeit hat, in einer gegebenen Zeitspanne zu ¹⁴N zu werden, ergibt sich im statistischen Mittel eine Abnahme dn/dt (das ¹⁴C wird weniger), die (mit wachsender Stoffmenge n immer exakter, zumal n wie eine kontinuierliche Größe behandelt werden kann) proportional zu n ist:

(1) dn/dt = –λn

Das bedeutet insbesondere eine Abnahme um denselben Faktor in derselben Zeitspanne, und wenn man weiß, dass die Funktion

(1.1) f(x) = e^{a·x} (a ist eine Konstante) = exp(ax)

die Ableitung

(1.2) f′(x) = df(x)/dx = a·exp(a·x)

hat, so kann man die Lösung gewissermaßen erraten:

(2) n(t) = n(t=0)·exp(–λ·t).

Durch Ableitung nach t kann man (2) testen.

Natürlich kann man eine solche Lösung auch streng rechnerisch herleiten, aber dies erfordert die Information, dass d(ln(x))/dx = 1/x ist und wie man die Technik der Trennung der Variablen anwendet.

Nach der Halbwertszeit T_½ muss (2) den Wert ½n(t=0) ergeben, also muss

exp(–λ·T_½) = ½ = exp(–ln(2))  und damit T_½ = ln(2)/λ

sein.

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