Herleitung für Formel der Mantelfläche des Kreiskegels

...komplette Frage anzeigen

3 Antworten

Guten Tag FCEfan, wenn ich den Hinweis von Fred verstehe, geht uns beiden Frage und Antwort heute noch einmal durch. Allerdings bin ich mit ihm nicht einer Meinung. Das Herleiten einer Formel ist nämlich keine Wissensfrage - da geht es um das Herangehen.

Nimm ein Blatt Papier, schneide daraus ein Quadrat. Trenne es diagonal. Daraus kannst du einen geraden Kegel wickeln, der gemeint sein müsste. Oder sollt ihr den Mantel für einen "schiefen Kegel" bearbeiten? Die Lösung wäre viel schwieriger.

Zurück zum Papier. Wenn du den Kegel vor dir hast, ist jede Seite vom Rand des Kreises am Boden bis zur Spitze gleich lang - das ist die Mantellinie s. Ihre Länge ist zuerst zu bestimmen. Wenn du im Unterricht nicht geschlafen hast, solltest du beobachten, dass die Höhe h des Kegels von Kreismitte der Bodenfläche senkrecht nach oben geht - zur Spitze. Damit ergibt sich für unseren Zweck ein rechtwinkliges Dreieck: Radius r - senkrecht aufwärts die Höhe h und schräg weg nach unten hin zum Radius die Mantellinie s.

Daraus folgt: die Länge der Mantellinie s lässt sich mit dem bekannten Satz des Pythagoras zum rechtwinkligen Dreieck berechnen: s² = r² +h² - also ist s die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate von r und h.

Aus der gleichen Überlegung folgt, dass bei Vorgabe von zwei Werten der dritte zu errechnen möglich ist: h ist die Quadratwurzel aus (s² - r²) und r ist folglich die Quadratwurzel aus (s² - h²) .

Nun zur Mantelfläche. Die längste Linie des Dreiecks ist doch beim Zusammendrehen ein Kreisring - oder? Die Länge des Kreisringes beträgt (Kreisumfang) sollte als Formel bekannt sein - U = 2 π r. Wenn wir nun diesen Wert mit der Mantellinie smultiplizieren - dann bekommen wir doch die Fläche eines Rechtecks - aus 2 Dreiecken. Also ist das Ergebnis durch 2 zu teilen - verständlich?

Damit wird die Mantelfläche M = (2 π r x s)/2 = π r s

Nimm wirklich Papier, schneide es zu, markiere mit Bleistift oder Farbstiften Höhe, Mantellinie und aufgewickelten Kreisumfang - dann denke und rechne.

Viel Erfolg!

Siegfried

Du hast dir wirklich viel Mühe gegeben, aber wenn du mal deinen eigenen Ratschlag (letzter Absatz) befolgst, wirst du feststellen, dass die Abwicklung eines entlang einer seiner Mantellinien aufgeschnittenen Kreiskegels mitnichten ein Dreieck ergibt, sondern einen Kreissektor (dessen Radius gleich der Länge der Mantellinie s ist).

Infolgedessen wird es dir umgekehrt auch nicht nicht gelingen, ein rechtwinkliges, gleichseitiges Dreieck (wie es nach deiner Konstruktionsanleitung entsteht) zu einem Kreiskegel zu formen.

0
@JotEs

Guten Tag JotEs,

Danke für deinen freundlichen und vor allem richtigen Kommentar.

War kein Papier zur Hand - nicht selbst geprüft, was ich empfahl - eine Schande!

Danke nochmals! Bleib gesund!

Siegfried

0

Die Abwicklung eines entlang einer seiner Mantellinien s aufgeschnittenen Kreiskegels ist ein Kreissektor mit dem Radius s und dem Öffnungswinkel theta.

Ein solcher Kreissektor hat den Flächeninhalt

A = pi * s ² * ( 360 - theta) / 360

Dies ist auch gleichzeitg der Flächeninhalt der Mantelfläche M des Kreiskegels, aus dem der beschriebene Kreissektor entstanden ist. Es gilt also:

M = pi * s ² * ( 360 - theta) / 360

.

Die Bogenlänge b eines Kreissektors ergibt sich wie folgt:

b = 2 * pi * s * ( 360 - theta ) / 360

Die Bogenlänge b aber ist gleich dem Umfang U des Grundflächenkreises des Kreiskegels ( b = U ) . Dieser Umfang berechnet sich zu:

U = 2 * pi * r

wobei r der Radius des Grundflächenkreises des Kreiskegels ist.

Wegen b = U gilt:

2 * pi * s * ( 360 - theta ) / 360 = 2 * pi * r

<=> r = s * ( 360 - theta ) / 360

Schreibt man nun die ganz oben entwickelte Formel für den Mantelflächeninhalt M

M = pi * s ² * ( 360 - theta ) / 360

so:

M = pi * s * s * ( 360 - theta ) / 360

dann kann man darin den Ausdruck

s * ( 360 - theta ) / 360

wegen

r = s * ( 360 - theta ) / 360

durch r ersetzen. Man erhält:

M = pi * s * r

und das ist die Formel für den Mantelflächeninhalt eines geraden Kreiskegels.

Was möchtest Du wissen?