Herleitung der Hesse'schen Normalenform und Abstandsform ?

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1 Antwort

Ich habe das früher so gemacht (hatte witzigerweise damals im LK das Selbe vorgetragen):

Zuerst bemerke man, dass die orthogonale Projektion auf die Ebene den minimalen Abstand liefert, das sollte jedem klar sein (mach dir das am besten klar, indem du eine Projektion in einem anderen Winkel danebenzeichnest und dir das entstehende Dreieck anschaust).

Sei nun die Ebene durch E: (x - p).n = 0 gegeben, und v der Vektor, dessen Spitze vom Ursprung aus der Punkt ist, dessen Abstand zur Ebene wir messen wollen (diesen Punkt identifizieren wir einfach mit v). Ist v nicht in der Ebene, so gehen wir von v orthogonal herunter, bis wir die Ebene treffen. Die Richtung ist n, das ist klar, da es der Orthogonalvektor auf der Ebene ist. Wir wissen also, dass (v - t * n) irgendwann auf der Ebene landen wird. t ist hierbei ein Parameter, und da |n| = 1, wissen wir, dass wir direkt den Abstand kennen, wenn wir t kennen, denn das ist einfach der Abstand. Das Ziel wird nun also sein, t herauszufinden.

(v - t*n - p).n = 0
[Distributivgesetze]
(v-p).n - t*(n.n) = 0

Jetzt wissen wir aber, dass n.n = 1, da |n| = 1, also:

(v-p).n - t = 0
[Umstellung]
t = (v-p).n

Und durch vorherige geometrische Beobachtungen wissen wir, dass |t| = d.

t ist sogar viel cooler als d: Jenachdem, ob t positiv oder negativ ist, sagt es aus, ob der Punkt auf der "Sonnenseite" oder "Schattenseite" der Ebene liegt (in Bezug auf die Orientierung, die durch den Orthogonalvektor gegeben ist).

LG

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Kommentar von sarah0098
20.06.2016, 16:03

Viele Dank für deine Antwort. Das ist die erste gute Herleitung die man schnell und richtig präsentieren kann. 

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