Kann mir jemand die Herleitung der Formel zur Berechnung von Rotationskörpern (Integral) erklären?

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4 Antworten

Schaue dir mal dieses Bild an -->

http://mathematik.matthias-schlosser.de/mathematik3/wp-content/uploads/2015/04/Aufgaben-Rotationsk%C3%B6rper.png

Jetzt stelle dir mal vor, du könntest aus dem Intervall von 0 bis 8 ein infinitesimal kleines Intervall herauspicken, was würdest du erhalten ?

Du würdest eine infinitesimal dünne Linie erhalten, die vertikal auf der x-Achse steht.

Was passiert, wenn man eine infinitesimal dünne Linie um die x-Achse rotieren lässt ?

Man würde einen Kreis erhalten, mit der x-Achse als Zentrum.

Wenn man das also für das gesamte Intervall machen würde, dann würde man unendlich viele infinitesimal dicht beieinander liegende Kreise erhalten.

Was würde man erhalten, wenn man die Flächeninhalte dieser unendlich vielen, infinitesimal dicht beieinander liegenden Kreise aufsummieren könnte ?

Man würde das Volumen des Rotationskörpers erhalten der entstünde, wenn man die gesamte Kurve im vorgegebenen Intervall um die x-Achse rotieren lassen würde.

Kann man die Flächeninhalte dieser unendlich vielen, infinitesimal dicht beieinander liegenden Kreise aufsummieren ?

Ja, kann man, das ist nämlich genau das, was die Integralrechnung macht.

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Wie sieht das nun in der Praxis aus ?

Um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen braucht man die Formel -->

A(r) = pi * r ^ 2

A(r) = Flächeninhalt des Kreises in Abhängigkeit von r

Wo bekommt man r her ?

Man bekommt r über die Funktion her, die man rotieren lassen will.

Nehmen wir mal an, die Funktion lautet -->

y = f(x) = 0.08 * x ^ 2 - 0.8 * x + 6

r ist dann f(x)

Also ist r von x abhängig.

Aus der Formel für den Flächeninhalt des Kreises wird dann !! -->

A(x) = pi * (f(x)) ^ 2

bzw.

A(x) = pi * (0.08 * x ^ 2 - 0.8 * x + 6) ^ 2

Wie addiert man nun die unendlich vielen, infinitesimal dicht beieinander liegenden Kreise auf ?

Das macht man mit der Integration -->

V = ∫ A(x) * dx von a bis b

a bis b sind die Integralgrenzen / Intervallgrenzen, lässt sich im GF-Editor leider nicht darstellen ;-((

Um genauer zu werden -->

V = ∫ pi * (f(x)) ^ 2 * dx von a bis b

Gemäß der Faktorregel kann man das noch vor das Integral ziehen.

V = pi * ∫ (f(x)) ^ 2 * dx von a bis b

Das ist die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers, der um die x-Achse rotiert !!

Mit der Funktion y = f(x) = 0.08 * x ^ 2 - 0.8 * x + 6 und den Intervallgrenzen 0 und 8 würde man dann erhalten -->

V = pi * (0.08 * x ^ 2 - 0.8 * x + 6) ^ 2 * dx von 0 bis 8

Das kannst du selber mal ausrechnen, du musst folgendes rausbekommen -->

V = 517.539 E ^ 3 (Kubikeinheiten)

Das ist nur die Herleitung für die Rotation um die x-Achse !! Es gibt auch noch die Rotation um die y-Achse, ich hatte noch keine Zeit mir darüber Gedanken zu machen, sorry.

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Kommentar von Volens
31.01.2016, 18:51

Für eine einfache Rotation um die Ordinate braucht man das auch nicht. Denn statt eine Vase um y rotieren zu lassen, kann man auch dieselbe Funktion so behandeln:
f(x) von einer Geraden subtrahieren, die das obere Ende der Vase darstellt und die Differenzkurve um die x-Achse rotieren lassen.

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Kommentar von Mavylin
31.01.2016, 19:59

Wow! Danke für deine Mühe und unglaublich ausführliche Erklärung. Das hilft mir mit Sicherheit weiter! Danke Danke Danke !!!

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Wenn du integrieren kannst, kannst du dir auch das Volumen von Rotationskörpern vorstellen.
Was passiert denn, wenn du integrierst und hast eine Fläche über der x-Achse bestimmt? Und jetzt lässt du diese Fläche sich drehen. Dann entsteht doch offenbar ein Körper mit einem Faktor von πx² an jeder Stelle. Also ist das Volumen genau
das Quadrat des Integrals multipliziert mit π in den Grenzen von a bis b.

         b
V = π ∫ f²(x) dx
         a

Das kannst du ziemlich schnell verifizieren, wenn du die Gerade f(x) = 3 von 1 bis 2 integrierst und dir elementar das Volumen überlegst (Zylinder).

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Das Problem vieler Professoren & Internetseiten ist die Kurzschreibweise. Bei

http://www.gerdlamprecht.de/Volumenintegrale.html

findet man die lange, also das Integrieren in alle 3 Raumdimensionen.

(und warum der konstante Teil der Rotationsfläche als Konstante vor das Integral verschoben werden kann...)

Viele Spezialfälle und Beispiele...

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