Herleitung der abc-Formel?

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Ausgerechnet werden soll ax²+bx+c=0:

ax²+bx+c=0         |:a    (damit man quadr. ergänzen kann, sollte 1*x² da stehen; ist dann einfacher zu erkennen)
x²+b/a*x+c/a=0   |quadr. Ergänzung: Wert vor dem x durch 2 dann quadrieren,
                              also (b/(2a)²
x²+b/a*x+(b/2a)²-(b/2a)²+c/a=0    |ersten 3 Summanden = 1. Binom
(x+b/2a)²-(b/2a)²+c/a=0                |*(2a)² um die "hässlichen Nenner"
                                                        loszuwerden; weil die Klammern quadratisch sind, musst Du innerhalb mit * 2a rechnen!
(2ax+b)²-b²+(2a)²c/a=0                |+b²    |-4ac   [letzten Term vereinfacht]
(2ax+b)²=b²-4ac                           |Wurzel ziehen
2ax+b=+-Wurzel(b²-4ac)             |-b
2ax=-b+-Wurzel(b²-4ac)              |:2a
x=(-b+-Wurzel(b²-4ac)) / (2a)

Siehe auch hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#Herleitung_der_a-b-c-Formel

(sieht was einfacher aus, aber man muss erst einmal darauf kommen, im 2. Schritt mit * 4a zu rechnen...)

Hab eine frage. Bei Wikipedia  wird im ersten schritt I-c  gemacht. Bei dir aber teilst du alles durch a. Oder hab ich da was irgendwie falsch verstanden ? 

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@MZMC4

Das siehst Du richtig. Bei Wiki wird dann im nächsten Schritt mit |*4a weitergerechnet, aber versuche das mal zu erklären, warum man das jetzt macht, und wie man da so einfach drauf kommt.

Ich bin einfach "stur" vorgegangen. Du hättest bei meiner Vorgehensweise an der Stelle " |*(2a)² " auch anders vorgehen können:

(x+b/2a)²-(b/2a)²+c/a=0              |+(b/2a)²   |-c/a
(x+b/2a)²=(b/2a)²-c/a                  |Wurzel ziehen
x+b/2a=+-Wurzel((b/2a)²-c/a)    |-b/2a
x=-b/2a+-Wurzel((b/2a)²-c/a)     |In Wurzel Hauptnenner bilden:=(2a)²
x=-b/2a+-(Wurzel(b²-2ac)/(2a)²)
x=-b/2a+-Wurzel(b²-2ac) / Wurzel(2a)²
x=-b/2a+-Wurzel(b²-2ac)/2a
x=(-b+-Wurzel(b²-2ac)) / 2a

Ich denke, bei diesen 2 Varianten kann man die einzelnen Schritte recht gut nachvollziehen, bei |*4a müsste man schon einige Schritte voraus denken um auf diesen Schritt zu kommen...

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@MZMC4

Gern geschehen und viel Erfolg am Freitag!

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ax² + bx + c = 0 | -c

ax² + bx = -c | *4a

4a²x²+ 4abx = -4ac | +b² (quadratische Ergänzung)

4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac | der linke Teil ist eine (ausmultiplizierte) 1. binomische Formel und kann deshalb zusammengefasst werden

(2ax+b)² = b² - 4ac | √

2ax+b = ±√(b²-4ac) | -b

2ax = -b ±√(b²-4ac) | :2a

x = (-b ± √(b²-4ac))/2a

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