Heii, wie rechnet man die Aufgabe für die 11.?

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5 Antworten

Guck mal, die Aufgabe habe ich am Mittwoch schon einem anderen User beantwortet. ^^

https://www.gutefrage.net/frage/mathe-ich-muss-tangentenprobleme-loesen-koennen-aufgabe-in-der-beschreibung#answer-218234418

Zu a) Du weißt, dass die Tangente den Graphen von g berührt und parallel zur Geraden f verläuft, also die gleiche Steigung hat.

Tangentengleichung: h(x) = mx + t

h(x) = 2x + t     (da gleiche Steigung)

Du musst jetzt also nur noch herausfinden, an welcher Stelle der Graph von g die Steigung 2 besitzt.

Die Steigung gibt die Ableitung an:

g(x) = 2x² - 4x + 1,5

g'(x) = 4x - 4

Wenn du nun berechnest, wo der Graph von g die Steigung 2 besitzt, kannst du damit den Berührpunkt und auch den y-Achsenabschnitt t von h(x) berechnen.

Zu b) Berechne dazu die Steigung des Graphen von g an der Stelle x = 1,5.

Mithilfe des Tangens kannst du damit den Winkel berechnen.

Der Arcustangens der Steigung der Tangente an der Stelle x = 1,5 gibt dir den Anstiegswinkel. ^^

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

LG Willibergi

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Viiviiaan 20.08.2016, 15:36

Soweit alles verstanden, aber wie kommst du darauf das sie Steigung 2 ist ?

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Willibergi 20.08.2016, 15:37
@Viiviiaan

Zwei parallele Geraden haben immer dieselbe Steigung, sonst wären sie nicht parallel. ^^

LG Willibergi

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Viiviiaan 20.08.2016, 16:09

Könntest du mir auch die Aufgabe erklären ?
Untersuchen Sie anhand einer Zeichnung, in welchen Bereichen die Funktion f(x)=-x hoch 3) +3x (hoch 2) streng monoton steigend bzw fallend ist.

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Willibergi 20.08.2016, 16:17
@Viiviiaan

Bei x = 0 existiert ein Tiefpunkt (der einzige), bei x = 2 ein Hochpunkt (ebenfalls der einzige).

Mehr brauchst du nicht.

Streng monoton fallend also im Bereich von -∞ bis 0 und 2 bis .

Wenn du dir den Graphen anguckst, kannst du dies einfach erkennen.

Streng monoton steigend im Bereich dazwischen, also von 0 bis 2.

Auch das ist im Graphen zu erkennen.

LG Willibergi

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Bei a) musst du den Punkt bestimmen, in dem g die gleiche Steigung hat wie f. Also beide Ableitungen gleich setzen und nach x auflösen. Das Ergebnis in g(x) einsetzen.

Bei b) bestimmst du die Steigung in x=1.5 und bestimmst den inversen Tangens dazu.

Wenn du ein wenig mitdenkst, kannst du bei b) Rechnungen einsparen.

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Die Steigung der Geraden ist, wie man am Koeffizienten von X erkennen kann, 2. Und das soll auch die Steigung der Tangente sein. Die Steigung der Tangente erhälst du indem du die erste Ableitung bildest. Also (2 x^2 - 4 x + 1,5)'  = 4 x - 4 = 2. Nach x auflösen: 4 x = 6. x = 1,5. An der Stelle 1,5  hat die Parabel die Steigung der Geraden. Diese x-Koordinate setzt du nun in die Parabel ein um die y-Koordinate zu erhalten. Also 2 * 1,5^2 - 4 * 1,5 + 1,5 = 0. Du hast also einen Punkt der Tangentengeraden und deren Steigung. Darauf kannst du die Geradengleichung erstellen. Nämlich 0 = 2*1,5 + b. Nach b auflösen ergibt b = -3. Die Lösung ist somit:  y = 2 x -3. Ich hoffe ich habe mich nirgends vertan, überprüfe also bitte noch mal. 

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Meinst du bei der Funktion g(x)

g(x) = 2x^(-4x)+1,5 (also -4x im Exponenten)?

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Viiviiaan 20.08.2016, 14:59

Nein nein das ist die Basis und dieses ^ soll hoch 2 bedeuten :)

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PeterKremsner 20.08.2016, 15:15
@Viiviiaan

Ok das bedeutet die Formel sieht so aus: g(x) = 2x²-4x+1,5?

Wenn ja bitte in deiner Frage so editieren, das erleichtert anderen ungemein dir zu Antworten ;)


Ich nehme mal an meine Schreibweise für g(x) passt:

Allgemein lässt sich die Tangente an eine Kurve mittels der Taylorapproximation beschreiben, du machst dazu einfach die Taylorreihe bis zur ersten Ableitung, die sieht dann so aus:

t(x) = g(a)+g'(a)*(x-a)

a ist in dem Fall die Entwicklungsstelle, also diese Stelle wo die Tangente t die Funktion g schneidet.

g' bezeichnet einfach nur die erste Ableitung von g.

g(a) = 2a²-4a+1,5

g'(a) = 4a-4

Damit können wir die Gleichung für die Tangente angeben:

t(x) = 2a²-4a+2,5+(4a-4)*(x-a) = 2a²-4a+2,5+4ax-4a²-4x+4a = -2a²+4ax-4x+2,5 = (4a-4)*x-2a²+2,5

a ist hier ein sogenannter Parameter, also ein Wert der zwar frei wählbar ist, aber zur Zeit der Auswertung der Funktion (wenn du x werte einsetzt) muss der konstant sein.

Wir haben jetzt die Forderung dass t(x) paralell zu f(x) verlaufen muss, daraus können wir ein a bestimmen.

Grundsätzlich gilt dass zwei Geraden Paralell sind wenn sie die selbe Steigung haben.

Ein vergleich mit der normalen Geradenfunktion g(x) = kx+d (k ist die Steigung)

liefert für die Gerade f(x): k = 2

und für die Gerade t(x): k = 4a-4

diese beiden Werte müssen jetzt gleich sein, damit kommen wir auf die Formel:

4a-4=2 => a = 3/2

dieses a setzten wir jetzt als Parameter in unsere Formel für t(x) ein:

t(x) = 2x-3

Weil der Offset (d in der Geradenformel) bei beiden Gleichungen anders ist sind diese wirklich Parallel und nicht ident.

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PeterKremsner 20.08.2016, 15:21
@PeterKremsner

Ich sehe gerade einen kleinen Fehler in der Gleichung herleitung bei t(x) gehört anstatt 2,5 natürlich 1,5 das Ergebnis also:

t(x) = (4a-4)x-2a²+1,5

t(x) = 2x-3 stimmt.

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PeterKremsner 20.08.2016, 15:29
@Viiviiaan

Zu deinem Beispiel b.

Dazu musst du die Tangente an g im Punkt 1,5 legen.

Wir verwenden wieder die allgemeine Formel für die Tangente:

t(x) = g(a)+g'(a)(x-a)

Diesmal haben wir aber den Punkt gegeben an welchen wir die Tangente legen sollen, nämlich zu x = 1,5.

Damit ergibt sich die Formel:

t(x) = g(1,5)+g'(1,5)(x-1,5)

g(1,5) = 0

g'(1,5) = 4*1,5-4 = 2

Die Formel für die Tangete ist also:

t(x) = 2(x-1,5) = 2x-3.

In dem Fall ist die Gleichung f(x) so gewählt, dass hier das selbe Ergebnis wie bei Punkt a steht, das muss aber nicht zwangsweise so sein.

Um davon jetzt den Steigungswinkel zu erhalten nehmen wir den arcustangens der Steigung.

Die Steigung sieht man wieder durch den Vergleich mit der Funktion g(x) = kx+d (wobei k die Steigung bezeichnet).

Daraus ergibt sich eine Steigung von k = 2 für die Tangente t.

Der gesuchte Winkel ist also alpha = arctan(2).

alpha = 63,43°

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  Für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel. Die Tangente g ( x ; x0 ) an der Stelle x0 ist der lineare Anteil der ===> Taylorentwicklung

       g (  x  ;  x0  )  :=  f  (  x0  )  +  (  x  -  x0  )  f  '  (  x0  )     (  1  )

     Stimmt ja auch; denn

        g ( x0 ; x0 )  :=  f  (  x0  )       (  2  ) 

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