Hauptnenner(kgV) bei Bruchtermengleichungen finden!

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3 Antworten

Dafür geht man am besten ganz praktisch vor. Von den Nennern, die du zur Verfügung hast (meist sind es ja nur zwei), nimmst du den größten. Den multiplizierst du nacheinander mit 1, 2, 3 usw. und probierst jedes Mal, ob der bzw. die anderen Nenner hinein passen. Teilen muss dann funktionieren.

Beispiel : Nenner sind 6 und 18

Nimm 18. Schon bei 1 * 18 = 18 passt auch 6 hinein. Also heißt der Hauptnenner 18.

Anderes Beipiel:

8 , 3 und 6.

Nimm 8. Das klappt mit 1 * 8 natürlich nicht.

2 * 8 ist 16 (geht auch nicht)

3 * 8 = 24 (das kannst du auch durch 3 und 6 teilen)

Also heißt der Hauptnenner: 24

Alles andere ist zwar mathematisch richtig, geht aber häufig nicht schnell genug!

jeugut 27.08.2013, 23:09

ihr versteht mein problem nicht. Ich hab vergessen es bei der frage zu ergänzen.

also wären es nur zahlen hätte ich kein problem aber es muss sich ja immer das Alphabet einmischen

wenn du so freundlich wärst für die Gleichung den Hauptnenner zu finden und mir erläuterst wie du dazu gekommen bist wäre das sehr nett... :) die Gleichung: u+5/(u-5)² = 2/u+5 - u/u²-25

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Volens 27.08.2013, 23:12

Oh, ja. Die Buchstaben.

Die sind noch einfacher als Zahlen.

Allerdings musst du Zahlen und Buchstaben extra betrachten. Erst suchst du den Hauptnenner für Zahlen und schreibst * dahinter (oder du lässt es, denn man kann den Mal-Punkt ja auch weglassen.

Wenn die Buchstaben verschieden sind und ohne Zusätze, z.B. a, b und c,

dann ist der Hauptnunner abc (unsichtbares Mal dazwischen).

Wenn Potenzen da sind, immer die höchste nehmen. Von a² und a³ wäre a³ der Hauptnenner. Jeden Buchstaben für sich betrachten!

a allein zählt dabei als a^1, ist also der kleinste.

Schwieriger wird es bei negativen oder gebrochenen Exponenten. Wenn du kannst, solltest du die immer erst in Brüche oder Wurzeln zurück verwandeln!

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jeugut 27.08.2013, 23:19
@Volens

dann sollte doch der hauptnenner bei der oben genannten Gleichung

(u+5)*(u-5) sein oder weil wenn man die nenner betrachtet

ist ja (u-5)² und u²-25 nichts anderes als (u+5)*(u-5)

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Volens 27.08.2013, 23:33
@Volens

Deine Beispielgleichung stimmt leider übergaupt nicht. Aber vielleicht liegt es nur an den falschen Klmmern.

Nehmen wir mal den folgenden Ausdruck:

1 / (u+1) + 1 / (u - 1)

Anders als bei einzelnen Buchstaben musst du hier fast immer die Nenner einfach miteinander multiplizieren. Du musst die Klammern aber beieinander lassen. Im obigen Beispiel heißt der Hauptnenner

(u+1) * (u - 1)

Das schreibst du erst einmal in den Nenner. Nun darf man nicht vergessen, die Brüche jeweils mit dem anderen Ausdruck zu erweiter, sonst wäre es ja nicht mehr gleich. Daher

(u - 1) / (u + 1) * (u - 1) + (u + 1) / (u + 1) * (u - 1)

= ( u - 1 + u + 1) / u² - 1

Im Nenner haben wir nämlich die 3. Binomische Formel. Beim Zähler bleibt 2u.

Endergebnis

2u / (u² - 1)

Ich hoffe, dass ich mich nicht vertippt habe. Bei so langen Texten passiert das schon mal.

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jeugut 27.08.2013, 23:40
@Volens

das mit dem erweitern und den binomischen formeln ist mir schon klar

ich versteh nur 0 vom kgv wo 3 verschiedene bruchterme sind ....mit 2 hätte ich auch kein problem. Tut mir leid das ich es immer noch nicht verstanden habe aber es ist mir wichtig

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Der Hauptnenner ist ein gemeinsames Vielfaches von den Nennern der gegebenen Brüche. Idealerweise das kleinste gemeinsame Vielfache. Man kann zum Beispiel einfach alle Nenner miteinander multiplizieren. Das ist aber oft nicht das kgV. Für das kgV nimmst du den größten der gegebenen Nenner und addierst ihn mit sich selbst immer wieder auf, bis das Ergebnis auch durch alle anderen Nenner teilbar ist, z. B.:

6, 13 und 2: - 13, nicht durch 6 und 2 teilbar - 26, nicht durch 6 teilbar - 39, nicht durch 6 und 2 teilbar - 52, nicht durch 6 teilbar - ... - 78, durch 6 und 2 teilbar --> kgV

jetzt mit Brüchen: 1/6 + 2/13 + 5/2 = (13 + 12 + 195) / 78

jeugut 27.08.2013, 22:45

mit den Zahlen hab ich ja kein problem aber es sind diese verdammten Buchstaben

meine Rechnung: u+5/(u-5)² = 2/u+5 - u/u²-25

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Ich gehe aus von:

(u+5)/(u-5)² = 2/(u+5) - u/(u²-25)

Regel: Der Hauptnenner enhält jeden unzerlegbaren Einzelfaktor in der höchstens Potenz, in der er im Nenner eines der Summandenbrüche vorkommt. Die Einzelfaktoren können Primzahlen sein, hier sind es Binome.

Mit u² - 25 = (u -5)(u+5) haben die Nenner nur zwei verschiedene (unzerlegbare) Binome, nämlich (u-5) und (u+5). Dabei kommt (u-5)² im ersten Nenner im Quadrat vor, (u+5) kommt über all nur in der ersten Potenz vor. Also ist der Hauptnenner

HN = (u-5)² (u+5)


Auflösung der Gleichung mit ausführlichem Erweitern:

Die Gleichung ist nur definiert, wenn u ≠ 5 und u ≠ -5 (warum?)

(u+5)(u+5) / ( (u-5)²(u+5) ) =

2(u -5)² / ( (u-5)² (u+5) ) - u(u-5) / ( (u-5) (u-5) (u+5) ) ; | * HN

(u+5)(u+5) = 2(u -5)² - u(u-5) ; | l.S. ausmultiplizieren; | r.S. anders zusammenfassen

u² + 10u + 25 = (2u -10 - u) (u -5)

u² + 10u + 25 = (u -10) (u -5) = u² - 15u + 50; | - l.S.

0 = -25 u +25; | -25; | : (-25) ≠ 0

u = 1 (definierte Lösung)

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